Asymptotische Gleichheit

25.06.2010, 11:43

akasharishi

Asymptotische Gleichheit

Hallo!

Zwei Folgen heißen doch asymptotisch gleich, wenn ihr Quotient gegen 1 strebt. Meine Frage ist, unter welchen Umständen das gleichbedeutend damit ist, dass die Grenzwerte der Folgen übereinstimmen.

Wenn die Grenzwerte der Folgen im eigentlichen Sinne existieren ist die Sache aufgrund der Grenzwertsätze ziemlich klar:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim_{n \to \infty}a_n}{\lim_{n \to \infty}b_n}=1 <-> \lim_{n \to \infty} a_n= \lim_{n \to \infty} b_n \end{eqnarray*}$

Aber wie ist das, wenn die einzelnen Folgen nur bestimmt divergerieren(+-unendlich) ?

Gruß

Rishi

25.06.2010, 12:01

Gastmathematiker

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RE: Asymptotische Gleichheit

Zitat:

Original von akasharishi
Hallo!

Zwei Folgen heißen doch asymptotisch gleich, wenn ihr Quotient gegen 1 strebt. Meine Frage ist, unter welchen Umständen das gleichbedeutend damit ist, dass die Grenzwerte der Folgen übereinstimmen.

Wenn die Grenzwerte der Folgen im eigentlichen Sinne existieren ist die Sache aufgrund der Grenzwertsätze ziemlich klar:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim_{n \to \infty}a_n}{\lim_{n \to \infty}b_n}=1 <-> \lim_{n \to \infty} a_n= \lim_{n \to \infty} b_n \end{eqnarray*}$

Aber wie ist das, wenn die einzelnen Folgen nur bestimmt divergerieren(+-unendlich) ?

Gruß

Rishi

Du hast dabei den Fall $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}b_n=0 \end{eqnarray*}$ vergessen auszunehmen, da tuts das nicht, bei bestimmt divergenten Folgen natürlich auch nicht.

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