Abbildungsmatrix

25.06.2010, 14:55

Pfirsichtee

Abbildungsmatrix

Guten Tag , meine Aufgabe sieht so aus :

Wir betrachten die beiden Basen

A = { $\begin{eqnarray*} 2X^2 + 3X + 4 , 3X^2 - X , 4X^2 \end{eqnarray*}$ }

und

B = { $\begin{eqnarray*} X^2 + X + 1 , X - 3 , 1 \end{eqnarray*}$ }

des $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ - Vektorraumes V der Polynome vom Grad kleiner gleich 2.

Die Abbildung F : V --> V , die jedem Polynom seine Ableitung zuordnet, ist linear.

Geben Sie die Abbildungsmatrix $\begin{eqnarray*} M_{A}^{B} (F) \end{eqnarray*}$ an !

Also ich habe kein Plan wie ich da zu einer Abbildungsmatrix kommen soll.
Die lineare Abbildung für Polynom --> Ableitung sieht ja wie folgt aus :

$\begin{eqnarray*} F ( \sum\limits_{i\geq o} a_i X^i ) = \sum\limits_{i\geq 1} i a_i X^{i-1} \end{eqnarray*}$

Jetzt kann ich natürlich nocht in der Summe bis maximal i = 2 eintragen :

$\begin{eqnarray*} F ( \sum\limits_{i\geq o}^2 a_i X^i ) = \sum\limits_{i\geq 1}^2 i a_i X^{i-1} \end{eqnarray*}$

Wie kann ich da denn nun hingehen und eine Matrix draus gestalten? verwirrt

Bin für jede Anregung dankbar. Wink

25.06.2010, 17:17

Felix

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} F ( \sum\limits_{i\geq o}^2 a_i X^i ) = \sum\limits_{i\geq 1}^2 i a_i X^{i-1} \end{eqnarray*}$

Kann die Ableitung eines Polynoms zweiten Grades ein Polynom zweiten Grades sein?

Mal Prinzipiell zu deinem Problem: Die Spalten der Darstellungsmatrix sind die Koeffizienten der LK der Bilder der Basisvektoren der Ausgangsbasis bezüglich der Basis im Zielraum.

25.06.2010, 18:01

Leopold

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@ Felix: Die rechte Seite ist doch vom Grad 1.

@ Pfirsichtee

Um Felix' Hinweis zu konkretisieren: Du hast die Basisvektoren

$\begin{eqnarray*} v_1 = 2X^2 + 3X + 4 \, , \ \ v_2 = 3X^2 - X \, , \ \ v_3 = 4X^2 \end{eqnarray*}$

und die Basisvektoren

$\begin{eqnarray*} w_1 = X^2 + X + 1 \, , \ \ w_2 = X - 3 \, , \ \ w_3 = 1 \end{eqnarray*}$

Und jetzt laß die Abbildung $\begin{eqnarray*} \text{differenziere} \end{eqnarray*}$ auf den Basisvektoren $\begin{eqnarray*} v_1,v_2,v_3 \end{eqnarray*}$ wirken und stelle die Ergebnisse als Linearkombinationen von $\begin{eqnarray*} w_1,w_2,w_3 \end{eqnarray*}$ dar.

Für $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ führe ich das einmal vor:

$\begin{eqnarray*} v_1 = 2X^2 + 3X + 4 \ \ \ \text{differenziere} \ \ \ 4X+3 = 0 \cdot w_1 + 4 \cdot w_2 + 15 \cdot w_3 \end{eqnarray*}$

Damit sieht die erste Spalte der Abbildungsmatrix so aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & . & . \\ 4 & . & . \\ 15 & . & . \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

25.06.2010, 18:54

Pfirsichtee

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Also würde die Matrix so aussehen?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 4 & 6 & 8 \\ 15 & 17 & 24 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dieses System ist ja relativ anschaulich , gibt es dazu irgendeinen Oberbegriff oder so? Diese Vorgehensweise hatten wir in der Vorlesung leider nicht. :/

27.06.2010, 14:13

Hans Peter

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@ Leopold:

Ich verstehe nicht ganz deine Vorgehensweise. Also ich verstehe dass du (in deinem aufgeführten Beispiel) v1 abgeleitet hast, doch ich verstehe nicht, wie du auf die Zeile nach dem =-Zeichen kommst.

Wäre cool, wenn du (oder jmd. anders) es mir verraten könnte.

Danke schon mal im Voraus.

27.06.2010, 14:15

Reneee

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Ich helf dir mal hier auch schnell. Habe gerade etwas Zeit. ^^

Lies dir nochmal das hier ganz genau durch :

Zitat :

Und jetzt laß die Abbildung auf den Basisvektoren wirken und stelle die Ergebnisse als Linearkombinationen von $\begin{eqnarray*} w_1 , w_2 , w_3 \end{eqnarray*}$ dar.

27.06.2010, 14:18

Hans Peter

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Ja, aber wie kommt er auf die Zahlen, DAS ist das ''unbegreifliche'' für mich...

also auf die 0 und/oder 4 würde ich noch kommen... aber wie kommt man auf 15w3?

Oder sehe ich den Wald vor lauter Bäume nicht? unglücklich

27.06.2010, 14:21

Reneee

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Schreib das alles doch mal ganz klar auf einem schönen Blatt Papier aus. Also $\begin{eqnarray*} w_1 \end{eqnarray*}$ ...

Dann multiplizierst du ganz normal aus und wirst etwas überraschendes festellen. ^^

Diese Werte hat er sich dann sozusagen ausgerechnet. Allerdings steckt da eigentlich kein gorßartiges Ausrechnen hinter.

27.06.2010, 14:29

Hans Peter

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Oh, nein!

Wie peinlich! .. Ich danke dir Reneee! Nächstes mal verscuhe ich nicht die ganze zeit vor die Wand zu laufen, sondern auch mal ein wenig umfassender zu denken... ^^

Danke! - Viel Spaß beim Fussball gleich... Bist doch bestimmt ein großer Fussballer! smile

27.06.2010, 14:34

Reneee

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Kein Problem , und mal schauen, wie wir uns gegen unsere Erzfeinde schlagen werden hehe .

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