Richtungsvektor einer Funktion

25.06.2010, 15:36

Zwerg Nase

Richtungsvektor einer Funktion

Folgende Aufgabenstellung habe ich vorliegen:
In welcher Richtung steigt die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y,z) = x^{2+sin(yz)} \end{eqnarray*}$ am Stärksten vom Punkt $\begin{eqnarray*} (1, \frac{\pi}{2}, -1) \end{eqnarray*}$ aus?

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Folgende Formel habe ich für die Berechnung im Sinn:

$\begin{eqnarray*} \vec{v} = \frac{grad f(a)}{|grad f(a)|} \end{eqnarray*}$

Bei der Bestimmung des Gradienten bzw. der Ableitungen bin ich mir aber unsicher.

Mit der Kettenregel wär man doch auf dem richtigen Weg denke ich .. oder sogar doppelte Kettenregel.
Ich schreib mal was ich grob gedacht hab:

fx = 2+sin(yz)
fy = z*cos(yz)
fz = y*cos(yz)

Jetzt ist die Sache eben, dass man ohne richtige Ableitungen unnötige Zeit für weitere Berechnungen verschwenden würde.
Deswegen würd ich gerne jeden hilfreichen Ratschlag dankend annehmen.

25.06.2010, 16:10

system-agent

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Ich fürchte da hast du dich vertan mit den Ableitungen [aber die Strategie ist gut Augenzwinkern

].

Nutze $\begin{eqnarray*} x^{2+\sin(yz)}=\exp((2+\sin(yz))\cdot\log(x)) \end{eqnarray*}$ .

Natürlich muss man ein bischen mit dem Definitionsbereich aufpassen.

25.06.2010, 16:27

Zwerg Nase

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Ok, dann nehm ich bisschen mehr Anlauf:

$\begin{eqnarray*} fx = x^{2+sin(yz)}*(2+sin(yz)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} fy = x^{2+sin(yz)}*z*cos(yz)*ln(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} fz = x^{2+sin(yz)}*y*cos(yz)*ln(x) \end{eqnarray*}$

Oh Oh .. ich hoffe ich hab jetzt nicht zu viel Kaudawelsch fabriziert.

25.06.2010, 16:47

system-agent

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Die erste Ableitung ist noch nicht OK. Du hast bei der inneren Ableitung vergessen den Logarithmus abzuleiten.

Übrigens mit

code:
1:	f_{x}

kriegst du $\begin{eqnarray*} f_x \end{eqnarray*}$ .

25.06.2010, 16:59

Zwerg Nase

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Hmm .. dann so etwa:

$\begin{eqnarray*} f_{x} = \frac{x^{2+sin(yz)}*(2+sin(yz))}{x} \end{eqnarray*}$

25.06.2010, 17:05

system-agent

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Nicht bloss etwa Freude

25.06.2010, 17:17

Zwerg Nase

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Ok das ist schonmal gut.

Das heißt jetzt kann ich daraus den Gradienten $\begin{eqnarray*} f(1,\frac{\pi}{2}, -1) \end{eqnarray*}$ bestimmen, indem ich die Punkte in die Ableitungen einsetzte.

Laut meiner Berechnung erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} grad f(1,\frac{\pi}{2}, -1) = (1.972, 0, 0) \end{eqnarray*}$

Kann das so stimmen?

25.06.2010, 17:56

system-agent

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Die hinteren beiden Komponenten stimmen, die vordere solltest du nochmal überprüfen.

25.06.2010, 18:18

Zwerg Nase

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Dann ... so:

$\begin{eqnarray*} grad f(1,\frac{\pi}{2}, -1) = (1, 0, 0) \end{eqnarray*}$

25.06.2010, 18:41

system-agent

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Das sieht schon besser aus.

Edit: Dein Avatar ist toll smile

25.06.2010, 18:52

Zwerg Nase

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RE: Richtungsvektor einer Funktion
Yoa, danke Big Laugh

So .. und jetzt zum Endspurt.
Die Formel habe ich am Anfang schon erwähnt:

$\begin{eqnarray*} \vec{v} = \frac{grad f(a)}{|grad f(a)|} \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} \frac{(1,0,0)}{\sqrt{1^{2}+0^{2}+ 0^{2} } } = (1,0,0) \end{eqnarray*}$

wenn ich mich nicht ganz irre.

25.06.2010, 19:20

system-agent

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Du irrst dich nicht.

25.06.2010, 20:54

Zwerg Nase

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Ok, wunderbar smile

Vielen Dank für die Gehhilfe.

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