Implizite Funktion

26.06.2010, 12:40	Born2	Auf diesen Beitrag antworten »
Implizite Funktion Meine Aufgabe: Es sei $\begin{eqnarray} f: (0,1) \times (0,1) \times \mathbb R \to \mathbb R, f(x,y,z) = x^{z} + y^{z} - 1 \end{eqnarray}$ . a) Zeigen Sie, dass es zu jedem $\begin{eqnarray} (x,y) \in (0,1) \times (0,1) \end{eqnarray}$ genau ein $\begin{eqnarray} z \in \mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x,y,z) = 0 \end{eqnarray}$ gibt. Hinweise: Monotonie, Zwischenwertsatz b) Zeigen Sie, dass es eine glatte Funktion $\begin{eqnarray} g: (0,1) \times (0,1) \to \mathbb R \end{eqnarray}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray} f(x,y,g(x,y)) = 0 \end{eqnarray}$ . c) Berechnen Sie $\begin{eqnarray} grad(g)(x,y) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} grad(g)\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: a) ? b) Um g(x,y) herauszubekommen, muss ich ja die Funktion nach z auflösen, jedoch ist dies in dem Fall ja fast unmöglich oder? Es müsste doch reichen, wenn ich zeigen würde, dass es ein g(x,y) überhaupt gibt, bzw. die Gleichung $\begin{eqnarray} 0 = x^{z} + y^{z} - 1 \end{eqnarray}$ nach z auflösbar ist. Hat dafür einer eine Idee?? c) Der Gradient von g(x,y) wäre ja $\begin{eqnarray} grad(g) = \left(\frac{\partial g}{\partial x} ,\frac{\partial g}{\partial y}\right) \end{eqnarray}$ , aber dafür bräuchte ich ja doch wieder ein konkretes g(x,y). Hat einer eine Idee, wie ich dieses g ausrechnen kann.
26.06.2010, 14:12	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu (a): Hier sind $\begin{eqnarray} (x,y) \end{eqnarray}$ fest und das Einzige das variiert, ist noch das $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ . Also kannst du das als eine neue Funktion $\begin{eqnarray} h: \mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray}$ auffassen, definiert durch $\begin{eqnarray} h(z):=f(x,y,z) \end{eqnarray}$ . Zu (b) und (c): Der Satz über implizite Funktionen.
26.06.2010, 16:31	Born2	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok danke, mir ist jetzt klar was ich bei der a) machen muss, aber mal eine kurze Verständnis-Frage: Was genau bedeutet die Vorschrift $\begin{eqnarray} (x,y) \in (0,1)\times (0,1) \end{eqnarray}$ ? Sind dann x $\begin{eqnarray} \wedge \end{eqnarray}$ y $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ 1 oder liegen sie in dem Intervall (0,1) ... Tendiere eher zum ersten, weil sonst meine Idee vielleicht doch nicht funktioniert ...
26.06.2010, 16:43	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Schreibweise $\begin{eqnarray} x\in(0,1) \end{eqnarray}$ bedeutet, dass $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ einen Wert zwischen 0 und 1, jeweils ausschliesslich, annehmen darf/kann. $\begin{eqnarray} (0,1)\times (0,1) \end{eqnarray}$ ist das kartesische Produkt der beiden offenen Intervalle $\begin{eqnarray} (0,1) \end{eqnarray}$ . Das heisst das Tupel $\begin{eqnarray} (x,y) \end{eqnarray}$ von Zahlen liegt in dem offenen Quadrat $\begin{eqnarray} (0,1)\times (0,1)\subset\mathbb R^2 \end{eqnarray}$ . Oder in ein bischen mehr Prosa: Die beiden Variablen $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ dürfen/können Werte zwischen 0 und 1 annehmen/haben, aber jeweils ohne die 0 und die 1. Die Schreibweise ist also eine reine Mengenschreibweise, weniger eine Vorschrift.
28.06.2010, 14:43	Born2	Auf diesen Beitrag antworten »
So, die a) habe ich jetzt geschafft ... Jetzt geht es aber weiter: Das ich da irgendwas mit dem Satz über implizite Funktionen machen muss war mir klar! Dieser sagt mir, dass ich die Funktion f(x,y,z,) nach z auflösen muss, da z=g(x,y) ist. Aber wie? $\begin{eqnarray} 1= x^{z} + y^{z} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z= ? \end{eqnarray}$
28.06.2010, 16:32	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe das Gefühl dass du den Satz doch nicht so genau gelesen hast. Dieser besagt, unter welchen Umständen an $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ man lokal nach $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ auflösen kann. Er sagt aber nicht, wie die aufgelöste Funktion lautet. Trotzdem sagt er doch, wie die Ableitungen von ebendieser aussehen.
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28.06.2010, 18:12	Born2	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe das Gefühl, dass ich den Satz noch nicht so richtig verstanden habe ... Sieht das Differential von g so aus: $\begin{eqnarray} Dg(x)= -(Dy f(x,y,g(x,y))^{-1} \cdot Dx f(x,y,g(x,y) \end{eqnarray}$ ? Wie komm ich dann vom Differential auf den Gradient?? Muss ich zeigen, dass Dz f invertierbar ist, damit es ein z=g(x,y) gibt?
29.06.2010, 12:51	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Für eine reellwertige Funktion ist der Gradient gerade das Differential. Vor allen Dingen musst du hier mit den Notationen aufpassen. So wie du das hier abgeschrieben hast, ist es für deine gegebene Funktion falsch. Du willst nach $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ auflösen, also muss man die 1x1-Untermatrix vom Differential betrachten die alle Ableitungen nach $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ enthält. Es ist $\begin{eqnarray} (Df)(x,y,z)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z),\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z),\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)\right) \end{eqnarray}$ und diese Untermatrix ist $\begin{eqnarray} \left(\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)\right) \end{eqnarray}$ . Wann ist diese invertierbar? Dann lautet das Differential deiner impliziten Funktion [beachte, diese hängt nur noch von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ ab]: $\begin{eqnarray} (Dg)(x,y)=\left( \frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)\right)^{-1}\cdot\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z),\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)\right) \end{eqnarray}$ .

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