unendlich viele stationäre Punkte

26.06.2010, 15:43

bandchef

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unendlich viele stationäre Punkte

Hi Leute!

Ich hab folgende Fkt gegeben: $\begin{eqnarray*} f(x,y)=x^2e^y-cos(y) \end{eqnarray*}$ .

a) Die Fkt. besitzt unendlich viele stationäre Punkte. Wo liegen diese und bei welchen Punkten handel es sich um Hoch-, Tief-, Sattelpunkte?

Was soll ich mir unter "unendlich viele sationäre Punkte vorstellen? Das ist mir bisher noch nie untergekommen...

Könnt ihr mir helfen?

26.06.2010, 15:50

Cel

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Das heisst, dass es unendlich viele Punkte gibt, die die Eigenschaften eines stationären Punktes erfüllen.

Deine Aufgabe: Berechne die stationären Punkte, genau so, wie du es bisher auch gemacht hast - dann wirst du feststellen, dass es unendlich viele gibt.

26.06.2010, 15:54

bandchef

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Kannst du mir vielleicht auch noch etwas weiterhelfen?

Ich hab jetzt meine Fkt. jeweils 2x part. abgeleitet. Und nun setze ich $\begin{eqnarray*} (grad)(f(x,y))=0 \end{eqnarray*}$

26.06.2010, 16:20

bandchef

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Nun, das sieht jetzt so aus:

$\begin{eqnarray*} (grad)(f(x,y)=\begin{pmatrix} 2x*e^y \\ x^2*e^y+sin(y) \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 2x*e^y=0 \rightarrow x=0 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} x^2*e^y+sin(y) \end{eqnarray*}$ Wenn ich nun die Fkt. nun aber ausrechnen will, dann bekomme ich ja da nich wirklich was raus.

Irgendwie verstehe ich das nicht. Könnt ihr mir helfen?

26.06.2010, 19:01

Cel

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Zitat:

Original von bandchef
$\begin{eqnarray*} (grad)(f(x,y)=\begin{pmatrix} 2x*e^y \\ x^2*e^y+sin(y) \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 2x*e^y=0 \rightarrow x=0 \text{ (*)} \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} x^2*e^y+sin(y) \text{ (**)} \end{eqnarray*}$

Wunderbar soweit!

Aus der ersten Gleichung (*) weisst du nun: $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ . Setzen wir das in die zweite Gleichung (**) ein. Es folgt dann:

$\begin{eqnarray*} \sin(y) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Für welche $\begin{eqnarray*} y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt das?

26.06.2010, 19:26

bandchef

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Danke!

Ich habe nun meine erste Gleichung in die zweite eingesetzt und bekomme in der Tat $\begin{eqnarray*} sin(y)=0 \end{eqnarray*}$ . Wenn ich hier nun den arcsin() anwende, dann ist das Ergebnis y=0. Ich denke das wolltest du auch mit der Frage "Für welche $\begin{eqnarray*} y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt das?" beantwortet haben, oder?

Wenn das jetzt soweit alles richtig ist, weiß ich jetzt, dass einer der beliebig vielen stationären Punkte (0/0) ist, oder?

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26.06.2010, 19:32

bandchef

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Damit ich nun herausfinde ob es sich um einen Sattelpunkt bzw. um ein relatives Extremum handel muss ich den stat. Punkt in die Form:

$\begin{eqnarray*} \Delta(x_0/y_0)=f_{xx}(x_0/y_0)*f_{yy}(x_0/y_0)-(f_{xy}(x_0/y_0))^2 \end{eqnarray*}$

Wenn dieses Ergebnis nun <0 ist folgt Sattelpunkt. Wenn das Ergebnis >0 folgt rel. Extremum. Um dieses näher zu bestimmen zu können, also um herauszufinden ob ein Maximum oder Minimum vorliegt, muss ich noch zusätzlich den stat. Punkt in $\begin{eqnarray*} f{xx}(x_0/y_0) \end{eqnarray*}$ einsetzen, oder? Wobei dann wiederum folgt, wenn das Ergebnis <0 rel. Maximum, wenn das Ergebnis >0 rel. Minimum.

Ist das alles soweit alles korrekt?

26.06.2010, 19:39

bandchef

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Wenn ich nun meine oben ausgeführten Schritte auf meine Fkt. anwende, dann komm ich auf folgendes Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \Delta(0/0)=1>0 \Rightarrow \text{rel. Extremum} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{xx}(0/0)=2>0 \Rightarrow \text{rel. Minimum} \end{eqnarray*}$

Kanns du vielleicht überprüfen, ob das stimmt?

26.06.2010, 19:42

Cel

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Zitat:

Original von bandchef
Wenn ich hier nun den arcsin() anwende, dann ist das Ergebnis y=0. Ich denke das wolltest du auch mit der Frage "Für welche $\begin{eqnarray*} y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt das?" beantwortet haben, oder?

Wenn das jetzt soweit alles richtig ist, weiß ich jetzt, dass einer der beliebig vielen stationären Punkte (0/0) ist, oder?

Ja, aber was wäre denn ein zweiter? Oder dritter? Der Sinus ist periodisch und nimmt den Wert 0 an unendlich vielen Stellen an. Gib sie in allgemeiner Form an. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Deine Formel kenne ich ehrlich gesagt nicht, ich mache das immer über die Definitheit der Hessematrix. Kennst du sie? Ich bin mir - ehrlich gesagt - nicht sicher, dass sie richtig ist, wenn ich Zusammenhänge zum Hauptminorenkriterium der Hessematrix herstelle. Hast du mal einen Link (mich interessiert die Formel nämlich auch allgemein, da ich sie wie gesagt nicht kenne)?

Edit: Na, sie scheint doch richtig zu sein. Es fehlen aber, wie gesagt, noch ein "paar" Punkte. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die Funktion hat auch unendlich viele Sattelpunkte.

26.06.2010, 20:28

bandchef

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Ich kenne die Hessematrix; die sieht doch so aus: $\begin{eqnarray*} H_f=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Der Sinus ist periodisch und nimmt den Wert 0 an unendlich vielen Stellen an. Gib sie in allgemeiner Form an.

Du meinst dann wohl so: $\begin{eqnarray*} x_0=0+k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_0=0+k \end{eqnarray*}$

Wobei k jede weitere Periode angibt, oder?

Wie sieht das dann bei der Berechnung aus? Muss ich das k in der Berechnung mitziehen, oder kann ich nur einsetzen und nach der Berechnung das +k dazuschreiben?

26.06.2010, 20:36

Cel

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Zitat:

Ich kenne die Hessematrix; die sieht doch so aus: $\begin{eqnarray*} H_f=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Genau! Aber nimm ruhig deine Formel, sie stimmt. Ich hab beides gemacht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Zitat:

Der Sinus ist periodisch und nimmt den Wert 0 an unendlich vielen Stellen an. Gib sie in allgemeiner Form an.

Du meinst dann wohl so: $\begin{eqnarray*} x_0=0+k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_0=0+k \end{eqnarray*}$

Wobei k jede weitere Periode angibt, oder?

Wie sieht das dann bei der Berechnung aus? Muss ich das k in der Berechnung mitziehen, oder kann ich nur einsetzen und nach der Berechnung das +k dazuschreiben?

Fast. x ist gleich 0, das folgt aus der ersten Gleichung. Mit einem x ungleich Null wird die partielle Ableitung nach x nicht 0. Und es muss heissen: $\begin{eqnarray*} y_0=0+k \cdot \pi = k \cdot \pi \end{eqnarray*}$

Du schleifst das jetzt mit, richtig.

Deine stationären Punkte sind also die Punkte $\begin{eqnarray*} (0, k \cdot \pi), k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Lass auf diese Punkte jetzt deine Formel los. Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.06.2010, 20:55

bandchef

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Diesen Satz verstehe ich nicht ganz:

Zitat:

Mit einem x ungleich Null wird die partielle Ableitung nach x nicht 0. Und es muss heissen: $\begin{eqnarray*} y_0=0+k \cdot \pi = k \cdot \pi \end{eqnarray*}$

Aus meiner ersten Gleichung folgt: $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ . Diese Ergebnis setze ich in meine zweite Gleichung der Form $\begin{eqnarray*} x^2*e^y+sin(y)=0 \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt wiederum: $\begin{eqnarray*} sin(y)=0 \end{eqnarray*}$ . Darauf wende ich den arcsin() an. Es folgt: $\begin{eqnarray*} y=0+k*\pi \end{eqnarray*}$ . Dieses $\begin{eqnarray*} k*\pi \end{eqnarray*}$ deswegen weil eben bei jeder Periode y=0 wird. Hab ich das jetzt richtig verstanden?

Somit folgen quasi jetzt die unendlich vielen stat. Punkte: $\begin{eqnarray*} (0/k*\pi) \end{eqnarray*}$

Und genau diese(n) Punkt(e) setze ich nun entweder in die Hessematrix oder meine Formel ein. Soweit richtig?

26.06.2010, 20:57

Cel

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Soweit alles richtig.

26.06.2010, 21:04

bandchef

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Ich hab nun auf meine stat. Punkte meine Formel "losgelassen" :-) und jetzt bekomm ich am Schluss diese Ergebnis: $\begin{eqnarray*} 2*e^{k\pi}*cos(k\pi) \end{eqnarray*}$

Wenn aber dieses k im cosinus jetzt immer größer wird, wird der cosinus irgendwann auch mal "minus". Das heißt, ich kann doch jetzt nicht mehr bestimmt angeben, dass dieses Ergebnis dann größer oder kleiner 0 ist, woraus man ja dann schließen kann ob es Sattelpunkte bzw. rel. Minima/Maxima gibt...

26.06.2010, 21:17

Cel

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Bedenke, dass k eine ganze Zahl ist. Mache eine Fallunterscheidung k gerade bzw. k ungerade.

26.06.2010, 21:51

bandchef

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Gut, k ist eine ganze Zahl d.h. sie ist so geordnet: $\begin{eqnarray*} ...<-2<-1<0<1<2<... \end{eqnarray*}$

Warum muss ich dann eine Fallunterscheidung zwischen gerade und ungerade machen? Ist es nicht wichtiger zwischen minus und plus zu unterscheiden?

26.06.2010, 23:42

Cel

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Nein, Minus und Plus hat keine Einwirkung auf das Ergebnis. Setzt am besten mal ein paar Zahlen ein, z. B. 0, 1, -1, 2, -2 und guck, ob das Vorzeichen oder die Teilbarkeit durch 2 eine Rolle spielt.

27.06.2010, 12:50

bandchef

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Gut, du hast Recht. Ganze Zahlen mit Minus bzw. Plus haben wirklich keine Auswirkung auf das Ergebnis. Zumindestens nicht auf das Vorzeichen. Das heißt ich kann nun Schlussfolgern, dass $\begin{eqnarray*} 2*e^{k\pi}*cos(k\pi) \end{eqnarray*}$ immer größer Null ist, aber das würde ja jetzt bedeuten, dass es lok. Maxima gibt. Welche Art es davon sind kann man ja nur durch die zusätzliche Betrachtung der zweiten part. Ableitung nach x bestimmen, oder?

27.06.2010, 12:54

bandchef

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Wenn ich nun die unendlich vielen stat. Punkte in die zweite part. Ableitung nach x einsetze, dann bekomm ich folgendes Ergebnis: $\begin{eqnarray*} 2*e^{k\pi}>0 \Rightarrow \text{unendliche viele rel. Minima} \end{eqnarray*}$

27.06.2010, 12:56

Cel

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Zitat:

Original von bandchef
Das heißt ich kann nun Schlussfolgern, dass $\begin{eqnarray*} 2*e^{k\pi}*cos(k\pi) \end{eqnarray*}$ immer größer Null ist [...]

Nein, eben nicht. Der Cosinus wird für bestimmte k negativ. Ich hab dir doch geschrieben, dass es unendlich viele Sattelpunkte gibt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Davon abgesehen hast du recht, es gibt unendlich viele Minima. Aber nur für bestimmte k (für gerade oder für ungerade, das musst du herausfinden).

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