partielle Ableitungen und Jacobi-Matrix |
26.06.2010, 16:16 | Claudia105 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
partielle Ableitungen und Jacobi-Matrix Ich würde mich über Hilfe zu folgender Aufgabe freuen: Sei f: x --> durch f(x,y) := (, sin(xy), )^t definiert. Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen bis zur zweiten Ordnung von f, sowie die Jacobi Matrix von f. Die erste Jacobi Matrix wird eine 2x3 Matrix, die zweite eine 4x3 Matrix. Und ich muss jeden Wert zweimal ableiten, jeweils einmal nach x und einmal nach y. Richtig? Bevor ich die zweiten Ableitungen machen, wofür ich bestimmt Hilfe brauche, da ich das noch nicht so gut kann, würde ich gerne wissen, ob meine ersten Ableitungen richtig sind. Damit ich zumindest eine richtige Basis zum weiter rechnen habe Bisher habe ich folgende Matrix: Stimmt die soweit? Beim Eintrag ??? Weiß ich leider nicht wie es mit der Ableitung geht. Ich habe bisher: = = . Nun soll das irgendwie mit Ketten- und Produktregel gehen, aber irgendwie kann ich das hier nicht anwenden. Wäre klasse, wenn mir jemand zeigt, wie man das letzte ableitet und mir sagen kann, ob meine Matrix ansonsten schon stimmt. |
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26.06.2010, 16:50 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Matrix ist OK. Für die fehlende Ableitung: Du hast als äussere Funktion die Exponentialfunktion und die innere Funktion ist . Beachte bei der Ableitung nach ist bloss eine Konstante. Nun leite mal die Exponentialfunktion ab und dann die innere Funktion. Dann nur noch nach der Kettenregel zusammensetzen. |
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26.06.2010, 17:02 | Claudia105 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke fürs prüfen meiner Matrixeinträge! x*log(y) abgeleitet ist gleich log(y) + x abgeleitet ist gleich Richtig soweit? Und dann zusammensetzen mit Kettenregel: * (x*log(y)) * (log (y) +x) Stimmt das? Das kann man doch sicherlich noch irgendwie zusammenfassen, aber ich seh da gerade nichts, was mit etwas bringt |
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26.06.2010, 17:10 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein. Ausserdem so etwas hinzuschreiben ohne zu erwähnen nach was du ableitest ist nutzlos, denn es gibt schliesslich zwei Variablen die man sieht.
Abgeleitet nach , ja, das ist richtig. Dann brauchst du aber doch nichts weiter, das ist bereits die gesuchte Ableitung. Du nutzt hier schliesslich die Kettenregel und die äussere Funktion war und ihre Ableitung ist und die innere Funktion ist und diese nach abgeleitet ist , da und damit auch konstant ist. |
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26.06.2010, 17:32 | Claudia105 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ist dann abgeleitet nach x: = log(y)² |
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26.06.2010, 20:35 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Lies nochmal meinen Beitrag. |
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27.06.2010, 13:02 | Claudia105 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So? [log(y) * e^(x*log(y)) ] * [x*log(y)] * [log(y)] äußere abgeleitet * innere * innere abgeleitet |
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27.06.2010, 13:48 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
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27.06.2010, 13:58 | Claudia105 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das habe ich doch so benutzt, ganz am Anfang steht doch genau das. Ich weiß leider nicht, was du mir damit sagen willst und ich weiß nicht, wie ich die Ableitung sonst machen soll |
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27.06.2010, 14:07 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe dir doch damit schon bestätigt, dass die Ableitung von nach gerade ist. Falls du es mir nicht glauben magst, dann *klick*. |
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27.06.2010, 14:14 | Claudia105 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich dachte, dass wäre nur die äußere Ableitung. Soll man nicht Ketten- und Produktregel anwenden?? Könntest du bitte einmal mit allen Zwischenschritten hinschreiben, was du genau gemacht hast? Oder ist das wirklich nur e ableiten, wie sonst auch? |
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27.06.2010, 14:23 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann beantworte folgende Fragen: (1) Was ist die Ableitung von nach ? (2) Was ist die Ableitung von nach ? (3) Was ist die Ableitung von nach ? (4) Was ist die Ableitung von nach ? (5) Wie lautet die Ableitung von nach , wenn und differenzierbare Funktionen von sind? Nun setze und . (6) Was ist ? (7) Was ist demnach die Ableitung von ? |
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27.06.2010, 14:34 | Claudia105 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
(1) Was ist die Ableitung von nach ? exp(x) (2) Was ist die Ableitung von nach ? 1 (3) Was ist die Ableitung von nach ? 2010 (4) Was ist die Ableitung von nach ? log(y) (5) Wie lautet die Ableitung von nach , wenn und differenzierbare Funktionen von sind? v'(w(x) * w'(x) Nun setze und . (6) Was ist ? exp(xlog(y)) (7) Was ist demnach die Ableitung von ? log(y) * e^xlog(y) * log (y) Das wären meine Antworten, wobei 7 ja definitv falsch ist. Ich versteh aber nicht warum. Ich muss exp(xlog(y)) nach x ableiten als äußere, das ist dann doch log(y) * e^xlog(y) und dann das innere abgeleitet dranhängen. Ich finde meinen Fehler dabei nicht |
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27.06.2010, 14:51 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du schreibst ja selbst was die Kettenregel ist, nämlich . Nun ist , nach (4) und nach (1). Dann ist . Also jetzt noch zusammensetzen: . Das ist alles. |
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27.06.2010, 15:01 | Claudia105 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Achso, also muss ich, wenn ich die äußere ableiten nur von exp(x) ausgehen und nicht, dass x hier xlog(y) ist? Dann war wahrscheinlich das immer mein gedanklicher Fehler! Vielen Dank! ich mach mich dann mal an die zweiten ABleitungen |
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29.06.2010, 09:29 | Claudia105 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe zu dem Thema nur noch eine Frage. Ich habe die drei EInträge ja abgeleitet und meine erste Jacobi-Matrix aufgestellt. Nun habe ich die 6 Einträge aus der Matrix jeweils nach x und nach y abgeleitet. Ich habe also 12 neue Werte. Nun weiß ich nicht, wie ich die in meine neue Jacobi Matrix eintragen soll, also welche Werte wohin kommen. Bei der 1. Matrix war es ja so, dass die erste Spalte die nach x abgeleiteten Werte beinhaltete und die zweite die nach y abgeleiteten. Aber wie mache ich es denn bei der zweiten? |
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29.06.2010, 12:45 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was für eine zweite Matrix meinst du? Es steht doch bloss da, dass du alle partiellen Ableitungen nochmal ableiten sollst. |
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29.06.2010, 13:26 | Claudia105 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jetzt wo du es sagst und ich noch mal die Aufgabenstellung lese, hast du wohl recht. Ich bin einfach davon ausgegangen, dass wir da auch noch eine Matrix erstellen sollen. und hatte mich schon gewundert, warum beide Matrixen heißen ... Danke für deine schnelle Antwort *g* |
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29.06.2010, 17:31 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ist die Jacobimatrix und pro Punkt gibt es bloss eine davon. Es heisst übrigens Matrix und wenn man mehrere davon hat sind es Matrizen . |
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29.06.2010, 18:24 | Claudia105 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das sollte auch ein "z" werden *g* |
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