Partialbruch - Koeffizient verschwindet?

26.06.2010, 16:38

Tanja_BB

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Partialbruch - Koeffizient verschwindet?

Hallo,

ich soll das folgende Integral von folgendem Bruch berechnen:
$\begin{eqnarray*} \frac{4^{2}+3x+3}{x^{3}+x^{2}+x+1} \end{eqnarray*}$
und dies mit Hilfe der Partialbruchzerlegung. Irgendwie kommt es mir dann aber schon etwas seltsam vor, dass mein einer Koeffizent verschwindet. Daher bitte mal überprüfen!

Nullstellen
Da Zählergrad < Nennergrad kann Partialbruchzerlegung durchgeführt werden.
Eine Nullstelle des Nenners durch Sehen erkennbar: x0=-1
Zweite Nullstelle wird durch Polynomdivision berechnet.
$\begin{eqnarray*} x^{3}+x^{2}+x+1 : (x+1) = x^{2}+1 \end{eqnarray*}$
x^2+1 hat keine weiteren Nullstellen. Daher einfach weiter mit dem koeffizientenvergleich...

Koeffizientenvergleich
$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{4^{2}+3x+3}{(x^{2}+1)(x+1)} = \frac{A}{(x^{2}+1)}+\frac{B}{(x+1)}<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> \Rightarrow 4^{2}+3x+3=A(x-1) + B(x^{2}+1)<br /> \Rightarrow 4=2B \Rightarrow B=2 und A=0<br /> \end{eqnarray*}$

Finde es etwas komisch, dass das A verschwindet... dadurch hätte ich für mein Integral ja quasi nur noch:
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{(x+1)} \end{eqnarray*}$ und somit dann integriert 2*(ln(x+1))

Also, was habe ich falsch gemacht?

Grüße, Tanja

26.06.2010, 16:49

corvus

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RE: Partialbruch - Koeffizient verschwindet?
.

Zitat:

ich soll das folgende Integral von folgendem Bruch berechnen:

$\begin{eqnarray*} \frac{4^{2}+3x+3}{x^{3}+x^{2}+x+1} \end{eqnarray*}$

zunächst:
bist du sicher, dass da im Zähler 4² steht?
wenn dem so wäre,
könntest du den ganzen Zähler doch einfach so schreiben: 3x+19 .. verwirrt

verwirrt

.

26.06.2010, 16:52

Tanja_BB

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Übungsaufgabe 2
Hallo,

ich gleich erneut. Die zweite Übungsaufgabe macht mir Probleme...
Dort ist nämnlich der Zählergrard größer als der Nennergrad.

D.h. doch, dass ich erst einmal eine Polynomdivision mit Zähler/Nenner anwebnden muss, oder?
$\begin{eqnarray*} \frac{x^{3}}{x^{2}-2x+1} \end{eqnarray*}$

Irgendwie bin ich gerade etwas verwirrt und nehme an folgendes ist falsch. Wie macht man es denn dann richtig?!
(Polynomdivision)
$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{x^{3}}{x^{2}-2x+1} =x + \frac{2x^{2}-x}{x^{2}-2x+1}<br /> \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

Augenzwinkern

Tanja

26.06.2010, 16:53

Tanja_BB

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@ corvus
Hallo, das ist ein Tippfehler!!! Es heißt natürlich 4x^2

26.06.2010, 17:15

corvus

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Zitat:

Original von Tanja_BB
@ corvus
Hallo, das ist ein Tippfehler!!! Es heißt? natürlich ? 4x^2

.................................................... smile

smile

ok, also, du solltest den Ansatz richtig so machen:
Koeffizientenvergleich
$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{4x^{2}+3x+3}{(x^{2}+1)(x+1)} = \frac{Ax+B}{(x^{2}+1)}+\frac{C}{(x+1)}<br /> \end{eqnarray*}$

ok?

26.06.2010, 17:24

corvus

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RE: Übungsaufgabe 2

Zitat:

(Polynomdivision)

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{x^{3}}{x^{2}-2x+1} =x + \frac{2x^{2}-x}{x^{2}-2x+1}<br /> \end{eqnarray*}$

na ja, ... das mt der Polynomdivision geht ja noch etwas weiter ..oder?

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{x^{3}}{x^{2}-2x+1} =x + 2 + \frac{3x-2}{x^{2}-2x+1}<br /> \end{eqnarray*}$ Wink

Wink

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26.06.2010, 17:25

Tanja_BB

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Mhm,

1. Heißt es wirklich von der Variablen her Ax+B ?! (Warum?)
2. (ax+b)(x+1) mit Xn eingesetzt ergibt doch aber wieder Null?!

26.06.2010, 17:31

Tanja_BB

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Hallo,

(zu Ü2):
stimmt. Das heißt ich mache quasi nur mit dem Restpolynom weiter oder?
Dem entsprechednd kkönnte man den Nenner ja dann als (x-1)(x-1) schreiben?!
Aber das macht dann doch beim Koeffizientenvergleich auch nicht so recht Sinn!

grüße, tanja

26.06.2010, 17:40

corvus

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Zitat:

Original von Tanja_BB
Mhm, geschockt

geschockt

!

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{4x^{2}+3x+3}{(x^{2}+1)(x+1)} = \frac{Ax+B}{(x^{2}+1)}+\frac{C}{(x+1)}<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4x^2+3x+3 = (Ax+B) \cdot (x+1) + C \cdot(x^2+1) \end{eqnarray*}$

rechne jetzt die rechte Seite aus und mach dann
den Koeffizientenvergleich richtig
(du wirst für A;B;C ein System mit drei Gleichungen bekommen)

also: ...-> ?

26.06.2010, 17:46

Tanja_BB

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4x^2+3x+3 = A(x^2+x) + B (x+1) + C(x^2+1)

Aber wie erstelle ich denn daraus jetzt ein Sinnvolles Gleichungssystem?
Ansatz:
A(x^2+x) =4x^2+3x+3 - B (x+1) - C(x^2+1)
B (x+1) = 4x^2+3x+3 - A(x^2+x) - C(x^2+1)
C(x^2+1) = 4x^2+3x+3 - A(x^2+x) - B (x+1)

26.06.2010, 18:06

corvus

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Zitat:

Original von Tanja_BB
4x^2+3x+3 = A(x^2+x) + B (x+1) + C(x^2+1) geschockt

geschockt

)

$\begin{eqnarray*} 4x^2+3x+3 = (Ax+B) \cdot (x+1) + C \cdot(x^2+1) \end{eqnarray*}$

du solltest die rechte Seite ausmultiplizieren ..
und dann ordnen nach Potenzen von x

$\begin{eqnarray*} 4x^2+3x+3 = (A+C)\cdot x^2 + (A+B)\cdot x + (B+C) \end{eqnarray*}$

und jetzt die Vorzahlen vergleichen:
A+C=4
A+B=?
B+C=?

und das System jetzt noch lösen..

ok?

26.06.2010, 18:14

corvus

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Zitat:

Original von Tanja_BB
Hallo,

(zu Ü2):
stimmt. Das heißt ich mache quasi nur mit dem Restpolynom weiter oder?
Dem entsprechednd kkönnte man den Nenner ja dann als (x-1)(x-1) schreiben?!
Aber das macht dann doch beim Koeffizientenvergleich auch nicht so recht Sinn!

grüße, tanja

$\begin{eqnarray*} \frac{3x-2}{x^{2}-2x+1} = \frac{A}{(x-1)^{2}} + \frac{B}{x-1} \end{eqnarray*}$

und jetzt wie gehabt A und B ermitteln

.

26.06.2010, 18:15

Tanja_BB

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Hallo,

da hatte ich wohl einen gewaltigen Verständnisfehler.
Dann gilt natürlich:
A+c=4
A+B=3
B+C=3

Damit :
A=4-c=3-B
B=3-A=3-c
C=4-a=3-B

Für Gleichung 1 (C) also
3B+C = 4
3(3C)+C=4
10C = 4
C = 2,5

Für Gleichung 3 (B) also:
B+2,5=3
B=0,5

Damit auch A = 2,5

26.06.2010, 18:24

corvus

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Zitat:

Original von Tanja_BB
Hallo,

da hatte ich wohl einen gewaltigen Verständnisfehler.
Dann gilt natürlich:
A+c=4
A+B=3
B+C=3

soweit richtig

aber das mit dem Lösen des Systems solltest du nochmal sorgfältig
(und ganz langsam) neu machen ...
Tipp:
mach solange, bis du schöne ganze Zahlen für A,B,C hast ; zB für A=2 , usw..

.

26.06.2010, 20:34

Tanja_BB

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A und C sind 3 und B ist 1.
Und wie gehe ich jetzt mit diesen Erkenntnissen weiter vor?

Vielleicht könntest du mir auch kurz erklären, warum ich statt A und B die Variante mit (Ax+B) und C genommen habe. Denn das verstehe ich ehrlich gesagt noch nicht so ganz...

26.06.2010, 20:42

Tanja_BB

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mensch schpn wieder vertippt.
ich meinte natürlich a und c sind je 2

26.06.2010, 23:27

corvus

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Zitat:

Original von Tanja_BB
A und C sind 3 und B ist 1.

mensch schpn wieder vertippt.
ich meinte natürlich a und c sind je 2 Freude

Freude

Und wie gehe ich jetzt mit diesen Erkenntnissen weiter vor?
.

weiter? .. hast du vergessen, wie die Aufgabe heisst?

Zitat:

Original von Tanja_BB
ich soll das folgende Integral von folgendem Bruch berechnen:

$\begin{eqnarray*} \frac{4^{2}+3x+3}{x^{3}+x^{2}+x+1} \end{eqnarray*}$
.

$\begin{eqnarray*} \int\! \frac{4^{2}+3x+3}{x^{3}+x^{2}+x+1} \, dx = \int\! \left[ \frac{2x}{x^2+1} + \frac{1}{x^2+1} + \frac{2}{x+1} \right] \, dx \end{eqnarray*}$

die Stammfunktion wird sich also zuisammensetzen aus zwei ln..-und einer arctan .. -Funktion

mach mal: ->...

27.06.2010, 08:21

Tanja_BB

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Hallöchen,

vielen Dank... ich sag ja, war gestern alles ein wenig konfus.

Könntest du mir bitte nun noch erklären, warum man eben Ax+b und C nimmt?
Statt A und B?
Das habe ich nämlich nicht so ganz verstanden...

Grüße, Tanaj

27.06.2010, 09:30

Tanja_BB

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Integral
Aus "1/x^2+1" wird 1*ln(x^2+1)
Aus "2/x+1" wird 2*ln(x+1)

Und aus "2x/x^2+1" wird irgendwas mit arcTan...
Grundformel ist ja eigentlich
1/a * arcan (x/a) -> 1*arctan(x/1) = arctan(x)
Aber dann habe ich ja die 2x im Zähler noch nicht betrachtet..., was mache ich mit denen?!

27.06.2010, 09:49

corvus

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RE: Integral

Zitat:

Original von Tanja_BB
Aus "1/x^2+1" wird 1*ln(x^2+1) nein
Aus "2/(x+1)" wird 2*ln(x+1)

Und aus "2x/x^2+1" wird irgendwas mit arcTan... NEIN
!

Beispiel:
Bei (2x) / (x²+1) steht im Zähler die Ableitung des Nenners..
Wie sieht in einem solchen Fall eine richtige Stammfunktion aus?

und:
vielleicht solltest du mal in der Formelsammlung blättern
um eine Stammfunktion zu f(x)= 1 / (x²+1) zu entdecken....

.

nebenbei:
Tanja_BB
unregistriert geschockt

geschockt

.. warum meldest du dich eigentlich hier nicht an?

27.06.2010, 09:57

Tanja_BB

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Hallo Corvus,

vielen Dank für deine Mühen!

Könntest du mir bitte nun noch endlcih meien Frage bzgl. Ax+b beantworten (s.o.)?!?!

Warum stimmen denn die ersten beiden Sachen nicht?!
Also, wir hatten letztens ein ähnliches Bsp. mit 1/7 * 1/x-2 und da war die Stammfunktion dann auch 1/7 * ln (x-2)
Also, wie gesagt, das will mir gar nciht einleuchten, was du da erzählst.

27.06.2010, 10:01

Tanja_BB

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Also..

Stammfunktion laut TW:
1/a^2+x^2 dx = 1/a * arctan x/a (hab ich aber bereits aufgeschrieben)

Zu deinem Bsp.:
Substituiere z=x^2+1 -> z'=2x
Also 1*ln(z)=ln(x^2+1)
Aber das hatte ich doch auch bereits?!
(wobei du recht hast, das ich das dem anderen Term FALSCH zugeordnet hatte)

27.06.2010, 10:24

Tanja_BB

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AB hier wieder wichtig
Hallo,

habe das jetzt mal in Ruhe integriert und komme am Ende auf
ln(x^2+1) + 2 ln(x+1) + arctan(x)
und weiß auch wie (2mal durch Substitution, 1mal einfach nach TW).

Daher hat sich das erledigt.

ABER: Ich verstehe noch immer nicht, warum du Ax+B gewählt hattest!!! Bitte erkläre mir das doch!

Und dancah geht es dann mit meinem anderen, zweiten Integral (mit dem x^3/...) weiter, okay?!

27.06.2010, 10:28

corvus

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Zitat:

Original von Tanja_BB
Hallo Corvus,

... noch endlcih meien Frage bzgl. Ax+b beantworten (s.o.)?!?! geschockt

geschockt

Also, wie gesagt, das will mir gar nciht einleuchten, was du da erzählst. geschockt

geschockt

geschockt

lies halt vielleicht den Beitrag von "Heute, 09:49" nochmal etwas aufmerksamer..

.................................................................. Teufel

Teufel

.

27.06.2010, 10:32

Tanja_BB

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Hallo,

Zitat:

... noch endlcih meien Frage bzgl. Ax+b beantworten (s.o.)?!?! geschockt

Entschuldige bitte, aber ich kann mir die Frage eben nicht beantworten, habe sie dir aber schon mehrmals gestellt.
Wärest du daher so freundlich, sie mir jetzt bitte zu beantworten?

27.06.2010, 11:03

Tanja_BB

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Zweites Integral
Stammfunktion von nachfolgendem ist zu berechnen (Ergebnis der Polynomdivison):
$\begin{eqnarray*} x+2+\frac{3x-2}{x^2-2x+1} \end{eqnarray*}$

Da die Nullstelle hier "doppelt" auftritt, muss man für den partialbruch folgendes machen:
$\begin{eqnarray*} \frac{A}{x-1} +\frac{B}{(x-1)^{2}} \end{eqnarray*}$

Damit erhält man beim koeffizientenvergleich 3x-2=ax-a+b -> 3=a und B=1
Und wie geht es nun weiter?

Kann man ganz normal integrieren, indem man
integral von x + integral von 2 + integral von 3/x-1 + integral von 1/(x-1)^2 macht?

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