Substitution Trigonometrischer Funktionen

26.06.2010, 16:58

Sir Jay

Substitution Trigonometrischer Funktionen

Habe ein Problem mit Folgendem Integral

INT ( cos(2x) / ( sin(x) * cos(2x) )

hier habe ich das cos(2x) in cos²x-sin²x ersetzt und habe somit das Integral von "cos/sin - sin/cos", wenn ich das dann via Substitution integriere, erhalte ich zum Schluss: ln(sinx) + ln(cosx) = ln(sin(x)cos(x)), was von dem vorgegebenen Ergebnis von ln(sin(2x)) = ln(2sin(x)cos(x)) um genau den Faktor 2 von meinem Ergebnis abweicht. Wo der Fehler ist erschließt sich mir einfach nicht...

INT ( sin^5(x) * cos²(x) )

Hier wird sogar vorgegeben für das u = cos(x) zu wählen, was bedeuten würde, dass ich für cos² = u² wählen muss, doch wie mache ich das dann mit den sin hoch 5 ?
das "du" wäre ja "-sin(x)" und ich hätte dann diese gleichung weil es für mich am naheliegendsten scheint mit 5 potenziert, damit ich also hätte "sin^5(x) = -du^5" doch das du sollte doch im normalfall keine höhere potenz haben, oder geht das doch irgendwie??

26.06.2010, 17:12

Leopold

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Du hast dich sicher verschrieben, und es muß

$\begin{eqnarray*} \int \frac{\cos(2x)}{\sin x \cdot \cos x}~\dd x \end{eqnarray*}$

heißen. Was die Lösung angeht, so denke an das 1. Logarithmusgesetz:

$\begin{eqnarray*} \ln (uv) = \ln u + \ln v \, ; \ \ u,v>0 \end{eqnarray*}$

Inwieweit ist denn eine Integration eindeutig?

Denke bei der zweiten Aufgabe an

$\begin{eqnarray*} \sin^5 x \cdot \cos^2 x = \sin x \cdot \left[ \left( \sin x \right)^2 \right]^2 \cdot \cos^2 x \end{eqnarray*}$

Jetzt verwende innen den trigonometrischen Pythagoras und substituiere.

26.06.2010, 19:25

corvus

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Zitat:

Original von Leopold
Du hast dich sicher verschrieben, und es muß

$\begin{eqnarray*} \int \frac{\cos(2x)}{\sin x \cdot \cos x}~\dd x \end{eqnarray*}$

heißen.

.. wenn dem so ist, dann kannst du doch gleich
dieses (Beinahe-) Grundintegral lösen:

$\begin{eqnarray*} 2\cdot \int \! cot(2x) \, dx \end{eqnarray*}$

oder?

und noch kurz zu Aufgabe 2:

$\begin{eqnarray*} \int \! \sin^5(x) \cdot \cos^2(x) \, dx = \int \! \left[\sin^5(x) - \sin^7(x) \right] \, dx \end{eqnarray*}$

... für Integrale der Form:
$\begin{eqnarray*} I_{n} = \int \! \sin^n(x) \, dx \end{eqnarray*}$
findest du in jeder Formelsammlung eine Rekursionsformel.. smile

27.06.2010, 15:19

Sir Jay

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Ah danke vielmals, die zweite Aufgabe habe ich damit nun locker gemeistert; sollte so eine Möglichkeit der Umformung in Zukunft immer im Auge behalten.

Was den Tipp für die erste Aufgabe angeht, komme ich irgendwie trotzdem nicht weiter, denn den Logarithmussatz habe ich ja angewandt, wie oben schon beschrieben; es fehlt dann trotzdem irgendwo der Faktor 2 in meinem Ergebnis verwirrt

Es soll ja ln(sin(2x) herauskommen (das wäre ja ln(2sin(x)cos(x)) ) bei mir jedoch kommt eben dann ln(sin(x)cos(x) ) ._.

27.06.2010, 18:38

corvus

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Zitat:

Original von Sir Jay

Was den Tipp für die erste Aufgabe angeht,
komme ich irgendwie trotzdem nicht weiter,
denn den Logarithmussatz habe ich ja angewandt, geschockt

wie oben schon beschrieben; ..oben war noch ein anderer Tipp ..
es fehlt dann trotzdem irgendwo der Faktor 2 in meinem Ergebnis verwirrt

Es soll ja ln(sin(2x) herauskommen .

es kommt ln|sin(2x)| heraus smile

aber vielleicht kannst du ja nicht gut lesen?
deshalb nochmal der Tipp:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{\cos(2x)}{\sin x \cdot \cos x}~\dd x = 2\cdot \int \! cot(2x) \, dx \end{eqnarray*}$

vergiss halt nicht, die kleine Substitution, die da fällig ist ,
dann hast du das Resultat richtig.

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