Vektor orthogonal zu sich selbst?

26.06.2010, 20:28

mooo1

Vektor orthogonal zu sich selbst?

Meine Frage:
Erstens:
Ich stehe vor folgendem Problem. Wir beschäftigen uns in Linearer Algebra gerade mit Bilinearformen. Nun gibt es ja scheinbar ausgeartete symm. B-Formen, für die gilt,
$\begin{eqnarray*} \langle v,v \rangle = 0 \end{eqnarray*}$ ist für $\begin{eqnarray*} v \neq 0 \end{eqnarray*}$ Dies würde ja bedeuten, dass ein Vektor auf sich selbst senkrecht steht. Eine solche Bilinearform sei:
$\begin{eqnarray*} \langle k,k \rangle = k_{1}k_{1} + k_{2}k_{2} -k_{3}k_{3} \end{eqnarray*}$
Ein Vektor sei $\begin{eqnarray*} ( 2,2, \sqrt{8}) \end{eqnarray*}$
Allerdings entzieht sich das total meiner Vorstellungskraft. Oder hab ich das falsch verstanden?

Zweitens:
Sei $\begin{eqnarray*} \langle , \rangle \end{eqnarray*}$ symm. Bilinearform von V
Sei $\begin{eqnarray*} R := \left\{ v \in V | v^{\perp} = V\right\} \end{eqnarray*}$
Das würde ja bedeuten, dass V durch einen einzigen orthogonalen Vektor aufgespannt wird. Auch das verstehe ich nicht. Wie soll das gehen?
(Zu der Annahme bin ich gekommen, da wenn:
M = {v} aus einem Element besteht, schreibt man v? statt {v}? )
Selbst wenn $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ die Menge aller orthogonalen Vektoren ist, wie zur Hölle sollen linear abhängige Vektoren = V sein? Die sind ja alle orthogonal zu etwas? Ahhh. Das macht keinen sinn in meinem Kopf Augenzwinkern

Meine Ideen:
Über etwas Hilfe wäre ich unendlich dankbar.
Liebe Grüße,
mooo1

27.06.2010, 06:47

Iridium

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RE: Vektor orthogonal zu sich selbst?
Hi,

Zu deiner ersten Frage:

Soweit ich das verstanden habe, folgt aus $\begin{eqnarray*} \langle v,v \rangle = 0 \end{eqnarray*}$ nicht zwangsläufig $\begin{eqnarray*} v = 0 \end{eqnarray*}$ , wenn du z.B. den Körper der komplexen Zahlen betrachtest, der Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^2 \end{eqnarray*}$ entspricht und dein Vektor eine komplexe Zahl repräsentiert. Ob man sich das noch geometrisch vorstellen kann, ist dann eine andere Frage. Aber womit es, denke ich, was zu tun hat, sind Quaternionen (Komplexe Zahl definiert als Paar reeller Zahlen -> Quaternion definiert als Paar komplexer Zahlen).

Gruß

27.06.2010, 08:46

Felix

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Zitat:

Allerdings entzieht sich das total meiner Vorstellungskraft. Oder hab ich das falsch verstanden?

Naja Vorstellen als zwei Vektoren die im geometrischen Sinn aufeinander normal stehen kannst du dir das nicht. Eine BLF hat im Allgemeinen keine geometrische Interpretation. Die gibt es nur bei gewissen Skalarprodukten z.B. dem Standardskalarprodukt, welches du aus der Schule kennst. Dieses ist jedoch positiv definit, daher kann kein Vektor orthogonal auf sich selbst stehen (bis auf den Nullvektor).

Auch bei deiner zweiten Frage, hast du offensichtlich wieder das Problem, dass du dir den Sachverhalt geometrisch Vortstellen möchtest. Also vielleicht noch einmal: Eine geometrische Interpretation (zumindest eine im herkömmlichen Sinn) gibt es bei den von dir betrachteten Fällen nicht!
Um dir hier ein triviales Beispiel zu geben: Für jeden Vektorraum mit der BLF die alles auf 0 abbildet gilt $\begin{eqnarray*} v^{\perp} = V \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} R = V \end{eqnarray*}$ .

lg

27.06.2010, 09:26

mooo1

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Okay, vielen Dank schonmal,
keine Geometrische Interpretation also Augenzwinkern

Dann muss ich das wohl so hinnehmen.
Allerdings hab ich das Problem, dass meine HAs genau das verlangen...
Vorausgesetzt ich hab die Frage richtig verstande...

Wenn ich dann also die Frage habe:
Was für ein geometrisches Objekt ist die Menge
$\begin{eqnarray*} \left\{ v \in R^{3} | \langle v , v \rangle = 0 \right\} \end{eqnarray*}$

Dann ist doch der R^3 ein Vektorraum in dem nur Nullvektoren senktrecht auf sich stehen?
Oder kann auch auch der R^3 mit dieser Bilinearform theoretisch $\begin{eqnarray*} v \neq 0 \end{eqnarray*}$ haben?

27.06.2010, 11:56

Felix

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Zitat:

Dann ist doch der R^3 ein Vektorraum in dem nur Nullvektoren senktrecht auf sich stehen? Oder kann auch auch der R^3 mit dieser Bilinearform theoretisch $\begin{eqnarray*} v \neq 0 \end{eqnarray*}$ haben?

Das hängt ganz von der gegebenen BLF ab. Bezüglich der "Null - Bilinearform" wären auch hier alle Vektoren auf alle Vektoren orthogonal.

Die Frage:

Zitat:

Was für ein geometrisches Objekt ist die Menge $\begin{eqnarray*} \left\{ v \in R^{3} | \langle v , v \rangle = 0 \right\} \end{eqnarray*}$

macht also meiner Meinung nach keinen Sinn so lange nicht festgelegt wird welche BLF hier zugrunde liegt.

27.06.2010, 13:06

mooo1

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Oh ne BLF habe ich natürlich, entschuldige,
ich dachte ich hätte die oben schon gepostet.

$\begin{eqnarray*} \langle \left(k_{1}, k_{2}, k_{3} \right), \left( (h_{1}, h_{2}, h_{3}\right) \rangle : = k_{1} h_{1} + k_{2} h_{2} - k_{3} h_{3} \end{eqnarray*}$

Ich weiß schon, dass die BLF kein Skalarprodukt ist, weil nicht positiv definit und

Aufgabe b kann ich ja der Vollständigkeit halber auch noch kurz auf schreibe:

Für $\begin{eqnarray*} r \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} H_{r} = \left\{ \left(k_{1},k_{2}, r \right)| k_{1},k_{2}\in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$ die Ebene parallel zur x,y Ebene und $\begin{eqnarray*} v \in H_{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \langle v,v \rangle = 0 \end{eqnarray*}$
Was für eine geometrische Menge bilden diese Vektoren in $\begin{eqnarray*} H_{r} \end{eqnarray*}$ ?

Die Vektoren sind $\begin{eqnarray*} \left(k_{1}, k_{2},\sqrt{k_{1}^{2} + k_{2}^{2}} \right) \end{eqnarray*}$ und meiner Meinung nach müsste sich es bei Hr um die Drehung von Ebenen um die Z-Achse drehen, die durch die z-Achse aufgespannt sind, das heißt mindestens 2 versch. Punkte auf der z-Achse haben.

Nur auf das geometrische Objekt komme ich halt einfach nicht. Ich hab das Gefühl ich müsste die Lösung auf den ersten Blick erkennen, habe aber ein Brett vor Augen. Könnte es sein, dass es irgendwie ein Zylinder oder sonst was ist? *schulterzuck*

27.06.2010, 16:33

Felix

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$\begin{eqnarray*} x_1^2 + x_2^2 = x_3^2 \end{eqnarray*}$ beschreibt einen Kegel.

Für Teil b): Wie heißt denn eine Quadrik mit der Koordinatendarstellung $\begin{eqnarray*} x_1^2 + x_2^2 = r^2 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Die Vektoren sind $\begin{eqnarray*} \left(k_{1}, k_{2},\sqrt{k_{1}^{2} + k_{2}^{2}} \right) \end{eqnarray*}$

Das kann übrigens im Allgemeinen nicht stimmen, da dein r ja fest ist Augenzwinkern

27.06.2010, 22:11

mooo1

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(Unfassbar, du hast geantwortet während Deutschland gespielt hat Big Laugh

Unglaublich!)

Hm, warum ist r fest? Das ist mir noch nicht klar.
Ich bin übrigens total bräsig fällig mir auf:
Für $\begin{eqnarray*} r \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} H_{r} = \left\{ \left(k_{1},k_{2}, r \right)| k_{1},k_{2}\in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$ die Ebene parallel zur x,y Ebene und durch den Punkt $\begin{eqnarray*} \left(0,0,r\right) \end{eqnarray*}$ geht.
Bestimme alle $\begin{eqnarray*} v \in H_{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \langle v,v \rangle = 0 \end{eqnarray*}$
Was für eine geometrische Menge bilden diese Vektoren...

Immernoch, dass r fest ist?
Weil wie sonst als durch $\begin{eqnarray*} \left(k_{1},k_{2}, r \right) \end{eqnarray*}$
könnte ich die Vektoren dann darstellen? Deswegen hatte ich
das ausgerechnet... Muss ich dann nach r auflösen stattdessen?

Mensch, das nervt, dass ich so aufm Schlauch steh.

Also, ich hab mich mal bei Wiki informiert, was eine Quadrik überhaupt ist (müssten wir das schon gemacht haben? Unser Prof ist ja dafür bekannt, dass seine Vorlesung "kindergarten sei" ^^, also so unter Mathematikern...)

Normalform:
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 x^2_1 + \lambda_2 x^2_2 + \lambda_3 x^2_3 + d = 0 \end{eqnarray*}$

Nach diesem Klassifizierungsding müsste es sich also um einen elliptischen Doppelkegel handeln? um die Kegelachse z bzw. $\begin{eqnarray*} x_{3} \end{eqnarray*}$
(Zum eigenen Verständnis: Ein Doppelkegel entsteht als Rotationsfläche einer Geraden um eine sie nicht rechtwinkelig schneidende Achse. Es entstehen zwei Drehkegel mit dem gleichen Öffnungswinkel und einer gemeinsamen Achse, die sich in der Spitze berühren. und dann mit elliptischem Kegelschnitt, richtig?)

27.06.2010, 22:26

Felix

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Zitat:

(Unfassbar, du hast geantwortet während Deutschland gespielt hat Big Laugh Unglaublich!)

Liegt vielleicht daran, dass ich Österreicher bin Augenzwinkern

Zitat:

Hm, warum ist r fest? Das ist mir noch nicht klar.

Naja deine Teilmenge $\begin{eqnarray*} H_r \end{eqnarray*}$ umfasst halt genau jene Vektoren deren 3. Komponente r ist. Nun suchst du Vektoren in dieser Menge also Vektoren der Form $\begin{eqnarray*} v=(k_1,k_2,r)^T \end{eqnarray*}$ für die gilt $\begin{eqnarray*} \langle v,v \rangle = k_1^2 + k_2^2 -r^2 = 0 \end{eqnarray*}$

Dadurch ist doch ein sehr bekannte geometrische Figur gegeben (die Konstante wird auch nicht umsonst mit r bezeichnet) Augenzwinkern

27.06.2010, 22:59

mooo1

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Zitat:

Original von Felix

Liegt vielleicht daran, dass ichÖsterreicher bin Augenzwinkern

Naaa gut, dann seis dir verziehen Augenzwinkern

Zitat:

ahaha. okay. Haben wir also eine Kreisgleichung. Ich suche also alle Vektoren, die auf dem Kreis liegen oder?
Würde es reichen wenn ich sage dass $\begin{eqnarray*} \langle v,v \rangle = k_1^2 + k_2^2 -r^2 = 0 \end{eqnarray*}$ gilt für alle $\begin{eqnarray*} \left(k_{1},\sqrt{r^{2} -k_{1}^{2}}, r\right) \end{eqnarray*}$ Dann ist immer noch mein r drinne.

Es ist mir ja jetzt sonnenklar und quasi unübersichtlich, dass $\begin{eqnarray*} x_1^2 + x_2^2 = r^2 \end{eqnarray*}$ den Kreis beschreibt. Allerdiiings, warum beschreibt $\begin{eqnarray*} x_1^2 + x_2^2 = x_3^2 \end{eqnarray*}$
dann nen Kegel? Weil in dem Fall r nicht fest ist, also größer und kleiner wird? Ahja, ich glaub ich habs.

27.06.2010, 23:24

mooo1

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Ich schreib nochmal jetzt alles auf zu der Aufgabe um nen Überblick zu bekommen, vllt kannst du dann nochmal drauf schauen. Nur so zur Ergänzung...
Also $\begin{eqnarray*} \langle , \rangle \end{eqnarray*}$ ist kein Skalarprodukt.

Alle Vektoren für die gilt $\begin{eqnarray*} \langle v,v \rangle =0 \end{eqnarray*}$ mit den obengenannten Bedingungen sind
$\begin{eqnarray*} \langle v,v \rangle = k_1^2 + k_2^2 -r^2 = 0 \end{eqnarray*}$ gilt für alle $\begin{eqnarray*} \left(k_{1},\sqrt{r^{2} -k_{1}^{2}}, r\right) \end{eqnarray*}$

und die geometrische Menge die diese Vektoren bilden, ist ein Kegel. (genauer elliptischer Doppelkegel??)
Für $\begin{eqnarray*} \left\{ v \in R^{3} | \langle v , v \rangle = 0 \right\} \end{eqnarray*}$ handelt es sich um einen Kreis als geometrisches Objekt.

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