gleichmäßig stetig

26.06.2010, 20:57

peterfalk

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gleichmäßig stetig

Meine Frage:
Hallo Ihr, habe hier folgende Aufgabe: Es sei f: |R -> |R eine stetige Funktion, so dass die Grenzwerte -a,a (für x gegen +/- unendlich) existieren. Man soll nun zeigen ,dass f gleichmäßig stetig ist.

Meine Ideen:
also ich habe mir folgendes überlegt: eine stetige funktion ist dann glm. stetig wenn sie auf einem kompakten intervall definiert ist.kompakt bedeutet abgeschlossen und beschränkt. da die grenzwerte ex.,ist sie beschränkt..ist das denn nun auch abgeschlossen, abgeschlossen ist mir an sich nicht so ganz klar was das bedeutet..danke für eure hilfe

26.06.2010, 21:57

peterfalk

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RE: gleichmäßig stetig
???bitte smile

smile

26.06.2010, 22:15

Gastmathematiker

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RE: gleichmäßig stetig
Klär bitte noch mal die Vorraussetzungen. Was sind a und -a? Deine Überlegungen stimmen nicht, da eine gleichmäßig stetige Funktion nicht auf einem Kompakten Intervall definiert sein muss. Das ist f hier ja auch gar nicht, da $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ nicht kompakt ist.

26.06.2010, 22:34

peterfalk

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richtig sorry sie ist nicht beschränk nur ich kann mir absolut keine funktion vorstellen bei der die grenzwerte a+/- existieren

26.06.2010, 23:01

Gastmathematiker

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Zitat:

Original von peterfalk
richtig sorry sie ist nicht beschränk nur ich kann mir absolut keine funktion vorstellen bei der die grenzwerte a+/- existieren

Was soll a+/- sein? Ich verstehe nicht, wie genau die Aufgabe ist. Könntest du die bitte mal 1 zu 1 hier hinschreiben.

27.06.2010, 11:51

peterfalk

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35. (a) Es sei f : IR -> IR eine stetige Funktion, so dass die Grenzwerte
lim(x->+/- unendlich) f(x) = a(und das a mit dem Index +/-) € IR existieren. Zeigen Sie, dass f gleichmaeßig stetig ist.

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27.06.2010, 22:37

peterfalk

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hat jemand ne idee?

27.06.2010, 23:20

gonnabphd

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Ja.

Du scheinst jedoch die Definition von gleichmässiger Stetigkeit nicht zu kennen... Das wäre schon das Minimum an Eigeninitative.

Da du keine Vorstellung einer solchen Funktion hast, hier ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x) := x e^{-|x|} \end{eqnarray*}$ und dazu der Graph:

Nachdem du die Definition von gleichmässiger Stetigkeit mal nachgeschlagen hast:

Die Idee ist, IR in ein kompaktes Intervall (1) und zwei unbeschränkte offene Intervalle (2) zu unterteilen.

(2) Genug weit im Negativen/Positiven ist die Funktion ja fast konstant (da die Limites existieren).

(1) Zum Thema stetige Funktionen auf kompakten Intervallen weisst du ja schon bescheid.

Wink

Wink

27.06.2010, 23:30

peterfalk

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doch mir ist schon klar was gleichmäßige stetigkeit bedeutet und ich weiß dass die von dir gegebene funktion glm. stetig ist da die steigung von f(x) beschränkt ist, aber ich kann doch nicht einfach sagen ich schaue mir f in dem intervall [-1000,1000] an und dann in (-unendlich,-1000[ und ]1000,unendlich),da sie ja erst im "unendlichen" konstant verläuft

27.06.2010, 23:33

gonnabphd

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Ich habe dir ja auch nicht die formale Lösung gegeben, sondern die Idee:

Zitat:

Die Idee ist, IR in ein ...

Es ist klar, dass du das (nachdem du die Idee verstanden hast) selber formalisieren musst.

Fang dazu am besten mit der Definition an: Sei epsilon > 0 gegeben, ... blablabla

Da kannst du ja z.B. drei Deltas finden, eins für x im linken Intervall, |x-y|<delta_1 => ....

eins für das mittlere kompakte und eins für das rechte. UND dann das Kleinste davon nehmen.

28.06.2010, 00:07

peterfalk

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Annahme: ab -X* und +X* verlauft f(x) konstant, also das Intervall [-X*,+X*]:
Sei €>O , |x-y|<delta vorgegeben => |f(x)-f(y)|<= c|x-y| (c ist Funktionsabhängig wüsste nicht wie ich das sonst abschätzen könnte habe ja keine exakte Fkt.) <delta*c
Wähle delta=€/c => |f(x)-f(y)|<delta*c=€
für (-unendlich,-X*[ und ]X*,unendlich) ist f(x) konstant. |f(x)-f(y)|<=|x-y|<delta,
wähle delta=€ => |f(x)-f(y)|<€ ..was könnte ich noch verbessern?

28.06.2010, 00:27

Gastmathematiker

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Zitat:

Original von peterfalk
Annahme: ab -X* und +X* verlauft f(x) konstant, also das Intervall [-X*,+X*]:
Sei €>O , |x-y|<delta vorgegeben => |f(x)-f(y)|<= c|x-y| (c ist Funktionsabhängig wüsste nicht wie ich das sonst abschätzen könnte habe ja keine exakte Fkt.) <delta*c
Wähle delta=€/c => |f(x)-f(y)|<delta*c=€
für (-unendlich,-X*[ und ]X*,unendlich) ist f(x) konstant. |f(x)-f(y)|<=|x-y|<delta,
wähle delta=€ => |f(x)-f(y)|<€ ..was könnte ich noch verbessern?

unglücklich

Lese dir bitte noch mal alle Definitionen durch, da geht so ziemlich alles durcheinander.

1. Wieso sollte die Funktion irgendwann konstant werden, das ist falsch?

2. Du verwendest einfach, ohne Beweis, wobei man das nicht beweisen kann, da das im Allgemeinen falsch ist, das die Funktion Lipschitz-Stetig ist.

Dann beweist du mehr oder weniger, dass aus Lipschitz-Stetigkeit die Stetigkeit folgt (bei deinem Beweis jeweils nur in den 3 Intervallen einzeln), was ist aber wenn x und y in verschiedenen Intervallen liegen?

28.06.2010, 18:08

peterfalk

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ok dann versuch ich es nochmal: da der grenzwert a existiert, gibt es ein K € X für das
|x-K|<delta und |f(x)-f(K)|<epsilon gilt. Seien x,y € ]K,unendlich) =>
|f(x)-f(y)|<epsilon (da ab K der Abstand zwischen f(x) und f(y) kleiner als epsilon ist) => f(x) glm. stetig .Auf dem kompakten Intervall [-K,K] ist f(x) in jedem Fall glm. stetig.
für den Fall dass x aus dem kompakten Intervall ist und y aus dem Intervall ]K,unendlich)fällt es mir schwer |f(x)-f(y)| geeignet abzuschätzen..

28.06.2010, 21:04

peterfalk

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sonst könnte mir ja jemand auch mal etwas weiterhelfen

28.06.2010, 21:38

gonnabphd

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Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ beliebig.
Es gibt ein $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} x,y < -A \text{ oder } x,y > A \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} |f(x) - f(y)|<\epsilon \end{eqnarray*}$

(dies folgt aus der "Limes existiert" Bedingung)

Weiterhin gibt es ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} x,y \in [-(A+1), A+1] \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} |x-y|<\delta \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|<\epsilon \end{eqnarray*}$ .

Wir dürfen $\begin{eqnarray*} \delta < 1 \end{eqnarray*}$ annehmen.

Seien nun $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ beliebig und $\begin{eqnarray*} |x-y|< \delta \end{eqnarray*}$ .
Es gibt drei Fälle:

1) $\begin{eqnarray*} x<-A-1 \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} -A-1 \leq x \leq A+1 \end{eqnarray*}$
3) $\begin{eqnarray*} A+1 < x \end{eqnarray*}$

Im ersten und letzten Fall ist $\begin{eqnarray*} y< -A \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} y>A \end{eqnarray*}$ und damit nach Wahl von A: $\begin{eqnarray*} |f(x) - f(y) |< \epsilon \end{eqnarray*}$

2) ist $\begin{eqnarray*} y \notin [-(A+1),A+1] \end{eqnarray*}$ so folgt daraus $\begin{eqnarray*} x \notin [-A, A] \end{eqnarray*}$ , also liegt einer der Fälle 1) oder 3) vor (tausche x und y). Andernfalls ist $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|< \epsilon \end{eqnarray*}$ klar.

Damit ist die Aussage bewiesen.

28.06.2010, 21:42

peterfalk

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super danke..wie kommt man denn genau auf die + 1 ?

28.06.2010, 21:44

gonnabphd

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Das ist bloss, um den Beweis ein wenig zu verkürzen. (damit der Fall x im linken Intervall, y im mittleren nicht extra behandelt werden muss; deshalb nehme ich auch delta<1 an)

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