Wie kann ich diesen Ausdruck als unendliche Reihe darstellen?

26.06.2010, 22:06

PeterH

Wie kann ich diesen Ausdruck als unendliche Reihe darstellen?

Meine Frage:
Hallo alle miteinander,
Ich habe eine Frage, bei der ich einfach auf kein passendes Ergebnis stoße. Nehmen wir an, wir besitzen beliebige Werte a, b und c und einen Startwert $\begin{eqnarray*} s_1 \end{eqnarray*}$ , der frei wählbar ist. Diese Werte setzt man in den folgenden Ausdruck ein, durch den wir den Wert $\begin{eqnarray*} s_2 \end{eqnarray*}$ erhalten:
$\begin{eqnarray*} \frac{s^2-c}{2\cdot s+b} = s_2 \end{eqnarray*}$
Nun wird $\begin{eqnarray*} s_2 \end{eqnarray*}$ anstatt $\begin{eqnarray*} s_1 \end{eqnarray*}$ in den Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{s^2-c}{2\cdot s+b} \end{eqnarray*}$ eingesetzt, wodurch wir $\begin{eqnarray*} s_3 \end{eqnarray*}$ erhalten. Das geht immer so weiter. Jetzt habe ich bemerkt, dass die Ergebnisse sich immer mehr einem Grenzwert annähern. Daher ist meine Frage: Kann man diese langsame Entwicklung gegen einen Grenzwert als unendliche Reihe darstellen, die konvergiert? Ich habe schon versucht eine solche Reihe zu finden, komme aber irgendwie nicht weiter. Kann mir vielleicht jemand helfen? Ich wäre über jede Art von Hilfe sehr dankbar.
Mit freundlichen Grüßen,
PeterH

Meine Ideen:

26.06.2010, 23:14

Abakus

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RE: Wie kann ich diesen Ausdruck als unendliche Reihe darstellen?
Hallo!

Du solltest ggf. zunächst überlegen, ob deine rekursive Folge überhaupt konvergiert bzw. unter welchen Umständen sie das tut.

Ansonsten, was ergibt sich, wenn du $\begin{eqnarray*} s_{n+1} - s_n \end{eqnarray*}$ ausrechnest? Das wäre die von dir gesuchte Differenz.

Wozu ist das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ gut, es kommt gar nicht vor?

Grüße Abakus smile

26.06.2010, 23:20

wisili

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RE: Wie kann ich diesen Ausdruck als unendliche Reihe darstellen?
Jede konvergente Folge $\begin{eqnarray*} (s_n) \end{eqnarray*}$ kann als Reihe der Differenzen aufeinanderfolgender Glieder aufgefasst werden: $\begin{eqnarray*} s_1+(s_2-s_1)+(s_3-s_2)+ ... \end{eqnarray*}$

27.06.2010, 10:26

PeterH

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Vielen Dank für die Antworten!!!
Nur eine Frage: Wenn ich die Differenz nun ermittelt habe, was ist dann der nächste Schritt? Ich habe es noch nicht getan, weil der Ausdruck ziemlich groß werden würde. Aber wie kann ich dann von ihm auf eine Reihe schließen?
Mfg PeterH

27.06.2010, 10:50

Abakus

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Zitat:

Original von PeterH
Aber wie kann ich dann von ihm auf eine Reihe schließen?

Schau einfach, was wisili dir oben hingeschrieben hat, das ist schon die Reihe.

Grüße Abakus smile

27.06.2010, 10:57

wisili

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Meine Neugier, ob da mit CAS etwas Schönes rauskommt, wurde weder befriedigt noch ganz enttäuscht:

[attach]15331[/attach]

Jedes zusätzliche Reihenglied erhöht vermutlich den Zählerexponenten durch Verdoppeln und bekommt einen zusätzlichen (allerdings immer schlimmeren) Nennerfaktor.

27.06.2010, 11:17

PeterH

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Wow, das sieht echt fies aus. Aber danke, dass du dir die Mühe gemacht hast, das ausrechnen zu lassen. Ich habe jetzt noch nicht genau durchgesehen aber ich bin mir sicher, da muss es irgendein Muster geben.

27.06.2010, 18:16

PeterH

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@ Wisili
Eine Frage habe ich noch: Mit welchem Programme hast du das jetzt ausgerechnet? CAS: kann man das irgendwo downloaden?

27.06.2010, 19:24

wisili

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Mein CAS ist Mathematica. Muss leider gekauft werden. Ohne download hat man allerdings über WolframAlpha freien Zugang. Den kenne ich aber nicht und weiss deshalb nicht, ob obige Rechnungen möglich wären.

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Wie kann ich diesen Ausdruck als unendliche Reihe darstellen?

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