Mittelwerte von Funktionen

02.11.2006, 23:07

akechi90

Mittelwerte von Funktionen

Ich hatte eine Überlegung, und wollte hier fragen, ob sie richtig ist:
Bekanntlich errechnet sich ja der arithmetische Mittelwert $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ einer Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ durch folgende Formel:
$\begin{eqnarray*} M=\frac{\int_{a}^{b}~f(x)~dx}{b-a} \end{eqnarray*}$
Nun ist meine Frage folgende:
Sei gegeben eine Operation $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ , die mit $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ die Axiome EANIK erfüllt.
Unter dem Mittelwert von n Zahlen bezüglich der Operation $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ verstehe ich eine Zahl, die n-mal mit sich selbst verknüpft dasselbe ergibt wie die Verknüpfung der Zahlen durch die Operation $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ .
Kurzum erfüllt der Mittelwert m also diese Bedingung:
$\begin{eqnarray*} \oplus ^{n}_{i=1}a_{i}= \oplus^{n}_{i=1}m \end{eqnarray*}$ .

Nun interessiert mich aber der Mittelwert aller Zahlen einer Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ bezüglich der Operation $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ .
Dafür habe ich mir nun folgendes zurechtgelegt:
Sei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ein Automorphismus von $\begin{eqnarray*} (\mathbb R, \oplus) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} (\mathbb R,+) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ seine Inversion.
Müsste dann der Mittelwert nicht so errechenbar sein:
$\begin{eqnarray*} M=A^{-1}(\frac{\int_{a}^{b}~A(f(x))~dx}{b-a}) \end{eqnarray*}$

Ich bin mir zwar ziemlich sicher, dass es so sein muss, einen geometrischen Mittelwert für positive Funktionen könnte man sich auf diese Weise sogar herleiten.
Nur ist mein Problem, ein scharfer Beweis muss her, sonst kann ichs nich verwenden.
Ist diese Formel richtig? Wenn ja, wie kann ich sie beweisen?

03.11.2006, 09:41

irre.flexiv

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A einen Automorphismus zu nennen ist übertrieben. Automorphismen sind isomorphe Abbildungen von einer Struktur auf sich selbst. Du hast außerdem noch nicht festgelegt was du unter einem Mittelwert eines Intervalls in $\begin{eqnarray*} (\mathbb R, \oplus) \end{eqnarray*}$ verstehen willst. Bisher steht nur fest was der Mittelwert von endlich vielen Zahlen sein soll. Und das reicht nicht aus um dein Problem zu lösen.

03.11.2006, 10:18

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Zitat:

Original von akechi90
Sei gegeben eine Operation $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ , die mit $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ die Axiome EANIK erfüllt.

Ich mag diese nicht allgemein üblichen Abkürzungen... Warum sagst du nicht gleich, dass $\begin{eqnarray*} (\mathbb R,\oplus) \end{eqnarray*}$ eine abelsche Gruppe ist - das ist wesentlich verständlicher. Augenzwinkern

Ansonsten stimme ich irre.flexiv voll zu:
Wenn du von den deiner endlichen Verknüpfung auf "unendlich" viele Verknüpfungen übergehen willst - wie im Detail auch immer - brauchst du eine Art Grenzübergang. Und das geht nicht ohne irgendwelchen topologischen Betrachtungen zu deiner Operation $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ (Stetigkeit o.ä.), auf "rein algebraischer" Ebene wird das nix. D.h., du musst deinem Isomorphismus $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ auch noch topologische Eigenschaften verpassen (Homöomorphismus o.ä.).

03.11.2006, 12:32

akechi90

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Stetigkeit habe ich als Grundvoraussetzung angesehen, aber dann sag ichs einfach mal konkret.
Die Überlegung war, den Mittelwert als Grenzwert zu definieren, bei dem der Mittelwert von mehreren äquidistanten Werten der Funktionen auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ errechnet wird, während die Zahl der Werte gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ . Damit müsste dann doch zu erreichen sein, dass man eine Art Integral verwenden kann, nur eben nich das typische Summen-Integral, wie man's in der Schule lernt.
Wenn $\begin{eqnarray*} (\mathbb R, \oplus) \end{eqnarray*}$ eine abelsche Gruppe ist, müsste es dann nicht auch eine stetige Abbildung $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} (\mathbb R,+) \end{eqnarray*}$ geben, sodass wir das Problem auf ein gewöhnliches Integral zurückgeführt haben?
Es klingt für mich zwar logisch, aber die Unsicherheit ist halt noch immer da.

03.11.2006, 12:40

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Zitat:

Original von akechi90
Wenn $\begin{eqnarray*} (\mathbb R, \oplus) \end{eqnarray*}$ eine abelsche Gruppe ist, müsste es dann nicht auch eine stetige Abbildung $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} (\mathbb R,+) \end{eqnarray*}$ geben, sodass wir das Problem auf ein gewöhnliches Integral zurückgeführt haben?

Sehe ich jetzt nicht, wieso das allein aus der Eigenschaft der Abelschen Gruppe folgen soll - aber ich lass mich gern belehren, denn so sattelfest bin ich bei dem Thema nicht. Jedenfalls kann die Anschauung ganz schön trügen...

03.11.2006, 17:21

akechi90

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Bei mir ist das Problem eben auch, dass ich diese Vermutung eher rein intuitiv aufgestellt habe, da sie in Einzelfällen äußerst logische Ergebnisse bringt, wie z.B. beim geometrischen Mittel von Funktionen.
Mit der Abbildung $\begin{eqnarray*} A:x \to ln(x) \end{eqnarray*}$ kommen bei $\begin{eqnarray*} (\mathbb R^{+}, \cdot) \end{eqnarray*}$ ziemlich logische Ergebnisse raus und nun glaube ich, dass man mit einer derartigen Abbildung in jeder Abelschen Gruppe das Problem des Mittelwerts lösen kann.
Andernfalls kann ich noch in den nächstenTagen Kontakt mit Vaihingen aufnehmen, wenn wir hier keine Lösung finden.

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