komplexe Nullstellen finden...

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27.06.2010, 13:04	bandchef	Auf diesen Beitrag antworten »
komplexe Nullstellen finden... Hi Leute! Ich soll von der komplexen Gleichung $\begin{eqnarray} z^4+z^2-j+1=0 \end{eqnarray}$ alle Nullstellen suchen. Ich kenne die komplexe Lösungsformel: $\begin{eqnarray} z_{1,2}=\frac{-b\pm j\sqrt{-(b^2-4ac)}}{2a} \end{eqnarray}$ . Ich weiß aber jetzt nicht recht, wo a, b und c und j aus meiner Gleichung, in die Formel hinkommen... Könnt ihr mir helfen?
27.06.2010, 13:12	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo es beim anderen Thread so schön läuft (du bist fast fertig ), machen wir doch auch hier gemeinsam weiter. Die Formel ist die Mitternachtsformel. Hier kannst du aber auch die pq-Formel nutzen, da die Gleichung in Normalform (wenn man sie passend umformt) vorliegt. Substituiere $\begin{eqnarray} z^2 = u \end{eqnarray}$ und nutze die pq-Formel. Wenn du das nicht möchtest, dann beachte, dass sich die Mitternachtsformel auf eine Gleichung der Form $\begin{eqnarray} ax^2 + bx + c = 0 \end{eqnarray}$ (hier mit Standardname "x" für die Unbekannten) bezieht.
27.06.2010, 13:42	bandchef	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Ich arbeite sehr gerne mit dir zusammen; ist sehr angenehm mit dir! An die Substitution hab ich selbst schon gedacht. Das sieht dann jetzt so aus: $\begin{eqnarray} u^2+u-j+1=0 \end{eqnarray}$ . Wie bringe ich nun die Gleichung in die Normalform? Das $\begin{eqnarray} 1u^2 \end{eqnarray}$ ist ja quasi das $\begin{eqnarray} ax^2 \end{eqnarray}$ das $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ ist das $\begin{eqnarray} bx \end{eqnarray}$ und das $\begin{eqnarray} -j+1 \end{eqnarray}$ ist das $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray*}$ . Stimmt das soweit? Nun kann ich doch die pq- bzw. die komplexe Mitternachtsformel anwenden, oder?
27.06.2010, 13:58	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, das kannst du nun machen. Für die Wurzelberechnung in der Formel bietet sich die Polarform an.
27.06.2010, 14:09	bandchef	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab jetzt meine Mitternachtsformel soweit zusammengekürzt: $\begin{eqnarray} u_{1,2}=-\frac{1}{2}\pm \underbrace{\frac{\sqrt{-4j+3}}{2}}_{\rightarrow w=\sqrt{-j+\frac{3}{4}}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} w=(-j+\frac{3}{4})^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ Nun scheitere ich gerade daran diesen Teil in Polarkoordinaten umzuwandeln. Ich hab mir ein Koordinatenkreuz hingemalt und auf der imaginären Achse -1 aufgetragen sowie auf der reellen Achse 3/4. Weiter hab ich gesagt, dass gilt: $\begin{eqnarray} \phi=arctan(\frac{-1}{\frac{3}{4}})=-0,927 \end{eqnarray}$ . Da ich mich ja im vierten Quadranten befinden brauch ich kein \pi mehr hinzuaddieren. Und da bekomm ich jetzt (ich rechne in rad) keinen anständigen Winkel in Form von $\begin{eqnarray} \sqrt{3} \end{eqnarray}$ oder so raus... Stimmt das soweit alles?
27.06.2010, 14:19	bandchef	Auf diesen Beitrag antworten »
Das heißt jetzt wahrscheinlich ich muss zur Umwandlung in Polarkoordinaten den arctan() mitziehen...
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27.06.2010, 14:25	bandchef	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bekomm jetzt als Nst. der substituierten Funktion folgende: $\begin{eqnarray} u_1=\frac{1}{4}-j \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u_1=-\frac{5}{4}-j \end{eqnarray}$ Stimmen die? Ich bin mir nicht ganz sicher
27.06.2010, 19:37	bandchef	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin mir jetzt ganz sicher, dass die Nullstellen der substituierten Fkt. wie folgt lauten: $\begin{eqnarray} u_1=-1-j \end{eqnarray}$ ; $\begin{eqnarray} u_2=j \end{eqnarray}$ Wie geht jetzt in diesem Fall resubstitution?
27.06.2010, 19:43	bandchef	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich hier nun resbustituiere bekomme ich das hier raus: $\begin{eqnarray} z^2=u_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z_{1,2}=\pm\sqrt{-1-j} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z^2=u_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z_{3,4}=\pm\sqrt{j} \end{eqnarray}$ Das heißt ja jetzt ich müsste genauso aufwendig die Nst. ausrechnen (nur eben 2 mal) wie ich die beiden Nst. der substituierten Fkt. ausgerechnet hab. Kann man das nicht irgendwie abkürzen? Ich hab mal gelesen das konjugiert komplexe Nst. auch immer gelten? Kann man da irgendwie ansetzen?
27.06.2010, 20:26	bandchef	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir jemand helfen von diesen beiden substituierten Nst. die weiteren jeweils zwei Nst. auszurechnen, besser gesagt ich möchte einfach die beiden Ausdrücke in die Normalform also ohne Wurzel umrechnen? Komme leider nur irgendwie auf unsinn.

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