Partialbruchzerlegung/ Nullstellen

27.06.2010, 13:46

ElBanditos

Partialbruchzerlegung/ Nullstellen

Hallo,

kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen?

$\begin{eqnarray*} \int \frac{2x^2+4}{x^3-x^2+x-1} \cdot dx \end{eqnarray*}$

ich bekomme die Nullstellen des Nenners nicht raus bzw. ich bin mir nicht sicher ob sie richtig sind.

Mein Ansatz:

mit Hilfe der Polynomdivison

$\begin{eqnarray*} x^3-x^2+x-1 : (x-1) = x^2+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x= \sqrt{-1} \end{eqnarray*}$ was eine komplexe Nullstelle ist.

d.h. es entsteht ein Partialbruch der Form

$\begin{eqnarray*} \frac{Bx+C}{x^2+px+q} \end{eqnarray*}$

aber irgendwie habe ich dabei ein unsicheres Gefühl im Bauch... Was meint Ihr dazu?

Grüße

edit: Hat sich erledigt, habe die Nullstellen nun mit dem Newton-Verfahren herausbekommen.

27.06.2010, 21:47

mYthos

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Die Nullstellen des Nenners können hier auch algebraisch, also ohne Newton, berechnet werden. Klammere aus den ersten beiden Summanden x aus und danach aus dem ganzen Term (x - 1).

mY+

08.07.2010, 18:00

ElBanditos

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Erst einmal vielen Dank für den Hinweis und bitte entscchuldige das ich erst jetzt antworte.

Nochmal zur Aufgabe: Ich habe versucht die Nullstellen algebraisch zu berechnen aber ich bekomm das einfach nicht hin.

Ich klammere x aus wie du gesagt hast:

$\begin{eqnarray*} x^3-x^2+x-1 = x(x^2-x)+x-1 \end{eqnarray*}$

...und dann weiß ich nicht wie ich (x-1) aus dem ganzen Term ausklammern soll.

Ich habe mir bereits noch einmal das Setzen von Klammern in meinen alten Mathebüchern angschaut, aber leider ohne Erfolg. Vielleicht kannst du mir ja noch einmal weiterhelfen.

Danke!

Grüße
ElBanditos

08.07.2010, 19:33

corvus

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} x^3-x^2+x-1 = x(x^2-x)+x-1 \end{eqnarray*}$

...und dann weiß ich nicht wie ich (x-1) aus dem ganzen Term ausklammern soll.

$\begin{eqnarray*} x(x^2-x)+x-1 = x^2 \cdot (x-1) + (x-1) = ? \end{eqnarray*}$

........................................... und jetzt .. verwirrt

09.07.2010, 12:14

ElBanditos

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das frag ich mich auch verwirrt

09.07.2010, 13:44

mYthos

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corvus fragt nicht SICH, sondern DICH! Wie wär's mit Ausklammern von (x - 1) ?

mY+

09.07.2010, 14:18

ElBanditos

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Achso, tut mir leid hab ihn falsch verstanden.

wenn ich nochmal (x-1) ausklammere komme ich auf

$\begin{eqnarray*} (x-1)(x^2+1) \end{eqnarray*}$ mit der Nullstelle $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$

aber warum bekomme ich dann eine über das Newton Verfahren $\begin{eqnarray*} x_{1/2}=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_3=-1 \end{eqnarray*}$ raus?

09.07.2010, 14:35

corvus

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Zitat:

Original von ElBanditos
Achso, tut mir leid hab ihn falsch verstanden. Freude

$\begin{eqnarray*} (x-1)(x^2+1) \end{eqnarray*}$ mit der Nullstelle $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$

aber warum bekomme ich dann eine über das Newton Verfahren

$\begin{eqnarray*} x_{1/2}=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_3=-1 \end{eqnarray*}$ raus?

..Warum? .. das weisst nur du ..
wir können da nur vermuten, dass du dich entweder kräftig verfahren hast
oder du hast den armen Newton halt einfach auch falsch verstanden ..

Wink

09.07.2010, 14:55

mYthos

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Das Newton-Verfahren kann durchaus auch nicht zutreffende Schnittpunkte liefern. Allerdings konvergiert es dann nicht, d.h., die Schnittpunkte entfernen sich immer mehr vom angenommenen Startwert.
Zum Lokalisieren deines Fehlers solltest du uns deine Rechnung zeigen.

mY+

09.07.2010, 15:44

ElBanditos

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Zitat:

Original von corvus
..Warum? .. das weisst nur du ..
wir können da nur vermuten, dass du dich entweder kräftig verfahren hast
oder du hast den armen Newton halt einfach auch falsch verstanden ..

Ich bin mir sicher das ich mich nicht nur verfahren habe, gut möglich das ich den armen Newton zusätzlich auch nicht richtig verstanden habe Hammer

Ok dann nochmal auf Anfang:

Aufgabe lautet: Berechnen Sie folgendes Integral:

$\begin{eqnarray*} \int \frac {2x^2+4}{x^3-x^2+x-1} \cdot dx \end{eqnarray*}$

I) um das Integral lösen zu können führe ich zu erst eine Partialbruchzerlegung durch, d.h. die Nullstellen des Nenners bestimmen und als Produkt darstellen.

$\begin{eqnarray*} (x-1)(x^2+1)=0 \end{eqnarray*}$

ich erhalte $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ und die komplexe Nullstelle $\begin{eqnarray*} x= \sqrt-1 \end{eqnarray*}$

also sind meine Linearfaktoren (x-1) und (x^2+1)

Daraus ergibt sich der Ansatz für die PBZ mit unbestimmten Koeffizienten:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x^2+4}{(x-1) \cdot(x^2+1) } = \frac{A}{(x-1)} + \frac{Bx+C}{(x^2+1)} \end{eqnarray*}$

das Ergebnis lautet dann

$\begin{eqnarray*} 3ln|x-1| - \frac {1}{2}ln|x^2+1|-arctan (x) + C \end{eqnarray*}$

Richtig? - dann brauch ich bitte Eure Hilfe beim Newtonverfahren.

bzw. ne kurze Erklärung:

ich versuch mal das Schema nach dem ich gegangen bin annährend darzustellen, kann leider mit dem latex nicht so gut umgehen und bitte daher um Euer verständnis.

also ich habe $\begin{eqnarray*} x^3-x^2+x-1 \end{eqnarray*}$

mein $\begin{eqnarray*} x_1=1 \end{eqnarray*}$ habe ich erraten.

$\begin{eqnarray*} 1-1+1-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} +0+1+0+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1+0+1+0 \end{eqnarray*}$

es bleibt also über $\begin{eqnarray*} x^2+1=0 \end{eqnarray*}$ - meine Komplexe Nullstelle. $\begin{eqnarray*} x_2= \sqrt -1 \end{eqnarray*}$

Also jetzt wo ich alles hin geschrieben habe, glaube ich das mein Fehler darin lag das ich die 1. Nullstelle, warum auch immer, als doppelte angenommen habe. Was eindeutig nicht der Fall ist.

Sind meine Behauptungen jetzt richtig, wenn auch ein wenig unübersichtlich?

Danke für Eure geduld, aber Ihr habt mir wieder einmal sehr geholfen, wenn es stimmt Augenzwinkern

edit: @mythos: Ich hab deinen letzten Beitrag erst nach meiner Antwort gelesen, ich möchte nicht das das Gefühl entsteht, das ich nicht auf alle Beiträge reagiere! smile

09.07.2010, 15:58

corvus

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Zitat:

das Ergebnis lautet dann

$\begin{eqnarray*} F(x)= 3ln|x-1| - \frac {1}{2}ln|x^2+1|-arctan (x) + C \end{eqnarray*}$

Richtig?

.... ja

Zitat:

es bleibt also über $\begin{eqnarray*} x^2+1=0 \end{eqnarray*}$ - meine Komplexe Nullstelle geschockt

.. x² + 1 = 0 hat in der Menge der komplexen Zahlen zwei (verschiedene) Lösungen Wink

aber egal .. für die Aufgabe hier brauchst du die ja ganz und gar nicht ... smile

ok?

09.07.2010, 16:12

ElBanditos

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Jup, vielen dank noch einmal an Euch Zwei!!! Freude

09.07.2010, 16:34

mYthos

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Gut.
Dass du mit Newton dennoch x = -1 herausbekommen hast, muss daher auf einem Fehler beruhen.

mY+

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