Gleichung 3 Grades aufstellen |
| 27.06.2010, 14:13 | jona.stone | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Gleichung 3 Grades aufstellen Hallo Leute ich hab ein Problem in Mathe und zwar will ich eine Gleichung 3ten Grades aufstellen - was ja eig. nicht schwierig sein sollte. Der Graph den ich rausbekomme geht aber nicht durch alle Punkte durch, durch die er sollte. Ich komm einfach nicht drauf woran es liegt... Ich habe folgende Punkte (0 | 0) (2,8 | 8) Hochpunkt (3 | 1) Tiefpunkt (3,3 | 4) Meine Ideen: Die allgemeine Form lautet ja: f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d 1.Ableitung: f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c Den letzten Parameter finde ich mit f(0) = d = 0 heraus. Dann erstelle ich mit den übrigen Punkten drei Gleichungen die so aussehen: f(3,3) = a*3,3^3 + b*3,3^2 + c*3,3 = 4 f'(2,8) = 3*a*2,8^2 + 2*b*2,8 + 1*c = 0 f'(3) = 3*a*3^2 + 2*b*3 + 1*c = 0 ausgerechnet: f(3,3) = 35,937a + 10,89b + 3,3c = 4 f'(2,8) = 23,52a + 5,6b + 1c = 0 f'(3) = 27a + 6b + 1c = 0 Die Matrix sieht dann so aus: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gaussjordan.htm Mit dem Online Matrixrechner bekomme ich die Parameter raus, die ich dann ich die Gleichung einsetze: f(x)= +2000/12177x^3 - 5800/4059x^2 + 5600/1353x Leider liegen nur die Punkte (0 | 0) und (3,3 | 4) auf dem Graphen (anschaulich unter http://www.geogebra.org/webstart/geogebra.html ) Was fehlt noch? Irgenwie muss ich das doch hinbekommen können...? |
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| 27.06.2010, 14:15 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| RE: Gleichung 3 Grades aufstellen Wenn ich das richtig verstehe willst du 6 Bedingungen einarbeiten, dafür brauchst du ein Polynom von mindestens Grad 5. |
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| 27.06.2010, 14:29 | jona.stone | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Meinst du ich soll die Hoch und Tiefpunkte sowohl in die Originalfunktion als auch in die erste Ableitung einsetzen und damit hätte ich dann eine 5x5 Matrix oder so? Ich werds gleich mal ausprobieren, aber hab so meine Zweifel ob mich das weiterbringt. ich glaub irgendwie nicht das es mit so wenigen Punkten und einem so einfachen Graphen direkt so kompliziert werden muss... Wie würdet ihr das denn machen, wenn ihr 2 Extrema und 2 weitere Punkte hättet und einfach nur die Funktionsvorscheift aufschreiben müsstet? EDIT: Es darf doch gar keine Funktion 6ten oder 5ten Grades werden, weil ich doch nur 2 Extrema habe. Das bedeutet doch eindeutig 3ten Grades? |
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| 27.06.2010, 15:10 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich habe deine Angaben mal durchrechnen lassen. Die Funktiongleichung wäre: 
Kann es sein, dass du dich irgendwo vertan hast? 
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| 27.06.2010, 15:28 | jona.stone | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Welche meiner Angabe hast du genommen? Bei den Punkten kann ich mich nicht vertan haben: Die sind nämlich selbst erfunden Und wie kommst du eig. auf eine Gleichung 5ten Grades??! Es sind doch nur 2 Extrema... Ein Freund meinte gerade, das der Graph so einfach nicht verlaufen kann; also durch (0|0) und dann bis (2,8|6) hoch und direkt wieder unter zu (3|1) Das wäre zu steil/nicht harmonisch gleichmäßig und deshalb nicht möglich... wenn ja warum nicht? |
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| 27.06.2010, 16:02 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
die gleichung von sulo 
(und deine tollen werte) |
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| 27.06.2010, 17:01 | jona.stone | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hä - wie kommst du auf diesen Graphen? ich hab das von Sulo abgetippt -20591750/14553 x^5 + 247634875/14553 x^4 -1114918790/14553 x^3 + 74242616/64851 - 26440816/231 x Und komm auf was ganz anderes |
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| 27.06.2010, 17:50 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
@jona.stone
Alle. 
Das erklärt alles.... 
Nein! Du hast 2 Extrema genannt. Aber: Die Funktion, die alle deiner Bedingungen erfüllt, hat 4 Extremwerte.
Seit wann müssen Graphen harmonisch sein?
Dein Beispiel zeigt doch, dass es möglich ist, diese Hoch-Runter-Verläufe durch eine Funktionsgleichung zu beschreiben. Wenn es dir ums Üben geht, würde ich dir raten, nimm ein Beispiel aus einem Buch oder suche im Netz. Deine Funktionsgleichung möchte ich nicht per Hand errechnen müssen... 
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| 27.06.2010, 18:06 | jona.stone | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Woher weißt du das?
Also könnte ich mir >theoretisch< auch 10 Punkte nehmen und einen Graphen durch alle durch legen, ohne das der Graph an manchen Stellen undefiniert nach sonstwieweit ausbricht? (hat wohl irgendwie mit Interpolation zu tun...?)
Es ist ein Projekt, da sich mir überlegt habe, bei dem gewisse Daten als Graph abgebildet werden müssen. ich hab hier auch nur einen Ausschnitt genannt, der gesammte Graph sollte dreimal so viele Punkte haben. |
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| 27.06.2010, 18:15 | jona.stone | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wichtige Frage: (ich glaub mir kommt langsam die erleuchtung) Welchen Grad ich bei der Ausgangsfunktion nehmen muss hängt von der Anzahl der Bedingungen ab, die ich verarbeiten will??? also zB bei 3 Extrempunkten -> 6 Bedingungen bräuchte ich f(x)=ax^6+ bx^5 .... ??? |
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| 27.06.2010, 18:18 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich sagte doch, ich habe es rechnen lassen.
Extremwerte: lokales Minimum bei ( 0,597571149004 | -28033,875445634298 ) lokales Maximum bei ( 2,8 | 8,000000000209 ) lokales Minimum bei ( 3 | 1,00000000016 ) lokales Maximum bei ( 3,223170167299 | 11,298896498626 )
Das müsste klappen.
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| 27.06.2010, 18:25 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Stimmt.
3 Extrempunkte -> 6 Bedingungen
Wenn du noch mehr Angaben hast, erhältst du mehr Bedingungen, siehe deine Aufgabe.
Nein, es wäre f(x)=ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f
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| 28.06.2010, 20:57 | jona.stone | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ok Leute ich melde mich mal zurück: Ich habs verstanden und für einen passenden Bereich jetzt ein Polynom 7ten Grades verwendet. An anderer Stelle ging es nur mit kubischen Polynomen (Stichwort Spline Interpolation) Ich danke euch vielmals! Den ganzen Rest werde ich jetzt noch allein schaffen. |
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| 28.06.2010, 21:00 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Alles klar.
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