Tschebyscheff Würfel

27.06.2010, 15:13	DoubleCast	Auf diesen Beitrag antworten »
Tschebyscheff Würfel Aufgabe: Beweisen Sie mit der Ungleichung von Tschebyscheff, dass die Wahrscheinlichkeit, mit 1200 Würfen eines fairen Würfels mindestens 151 und höchstens 249 mal die Sechs zu werfen, (echt) größer als 93% ist. Idee: Meine Abweichung beträgt ja 49, weil $\begin{eqnarray} X \Rightarrow 151<X<249 \end{eqnarray}$ und der Mittelwert ja 200 ist, daher 49. Setze ich das jetzt in die Ungleichung ein $\begin{eqnarray} <br /> <br /> P[k-E(x)]<49]\geq 1 - \frac{49^2}{?^2} \geq 0,93 \end{eqnarray}$ Mein Problem ist, wie man sieht die Stelle mit dem Fragezeichen. Kommt da jetzt der Durchschnittswert hin, also 200 oder wie geht es weiter? Oder liege ich komplett falsch? Ein kleiner Tipp wäre nett, danke.
27.06.2010, 17:24	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyscheff Würfel Die Tschebyscheff-Ungleichung besagt: $\begin{eqnarray} P(\|X-E(X)\|<k) \geq 1 - \frac{Var(X)}{k^2} \end{eqnarray}$ Unabhängige Würfe ... wie berechnet man da die varianz?
27.06.2010, 19:05	DoubleCast	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyscheff Würfel 1200 * 1/6 müsste das ja sein. Das wäre auch gleich 200 k wäre dann ja 49. Dann würde aber 0,083, also 8,3% rauskommen was aber bei 1-0,083=91,7 % wäre und somit falsch :/
27.06.2010, 20:32	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyscheff Würfel $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ="Anzahl der 6er in 1200 Würfen" $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ = 1, falls der i-te Wurf ein 6er ist und 0 sonst. $\begin{eqnarray} => X = \sum_{i=1}^{1200} X_i \end{eqnarray}$ Im weiteren nehmen wir an, dass die $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ i.i.d verteilt sind mit $\begin{eqnarray} P(X_1=1)=\frac{1}{6} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P(X_1=0)=\frac{5}{6} \end{eqnarray}$ . 1. $\begin{eqnarray} P(151 \leq X \leq 249) = P(\|X-200\| \leq 49) = P(\|X - E(X)\| < 50) \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} P(\|X-E(X)\|<50) \geq 1 - \frac{Var(X)}{50^2} \end{eqnarray}$ 3. $\begin{eqnarray} Var(X) = Var(\sum_{i=1}^{1200} X_i) = 1200Var(X_1) \end{eqnarray}$ 4. $\begin{eqnarray} Var(X_1) = E(X_1^2) - E(X_1)^2 = \frac{5}{36} \end{eqnarray*}$ jetzt sollte es gehen, oder?

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