Beweis Matrixumformung

27.06.2010, 14:36	Maria.L.	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Matrixumformung Hallo, ich stecke gerade fest. Ich will zeigen, dass für eine invertierbare quadratische Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ mit ihrer konjugierten Matrix $\begin{eqnarray} \overline{A} \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \overline{A^{-1}} = (\overline{A})^{-1} \end{eqnarray}$ Ich weiß leider nicht genau, wie ich das zeigen soll. Eine quadratische Matrix $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ ist ja invertierbar, wenn ein $\begin{eqnarray} B^{-1} \end{eqnarray}$ existiert, so dass $\begin{eqnarray} B \cdot B^{-1} = E \end{eqnarray}$ gilt. Bei einer konjugierten Matrix werden einfach die einzelnen Einträge konjugiert. Für Einträge aus der Menge der rellen Zahlen bleibt die Matrix ja gleich, nur für Einträge aus der Menge der komplexen Zahlen ändert sich etwas. Doch wie beweise ich das alles formal? Vielen Dank für Eure Hilfe! Liebe Grüße Maria
27.06.2010, 17:08	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Zerleg die betrachtete Matrix doxh mal in Real- und Imaginärteil.
27.06.2010, 17:31	Maria.L.	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke, Felix, für den Tipp. Leider stehe ich dann immer noch auf dem Schlauch: $\begin{eqnarray} (\overline{A})^{-1} = (\overline{A_{Realt} + A_{Imagin}})^{-1} = (A_{Realt} - A_{Imagin})^{-1} = ??? \end{eqnarray}$ Stimmt's so? Wie geht es weiter? Gruß Maria
27.06.2010, 17:46	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich nenne Real und Imaginärteil mal A und B beziehungsweise A' und B' für Real und Imaginärteil der Inversen. Zeige, dass (A + B)(A' + B') = (A - B)(A' - B').
27.06.2010, 18:00	Maria.L.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe nicht, wie du nun auf diese Gleichung kommst und wie sie mir weiterhelfen sollen... Muss ich meine Gleichungen nicht nur noch äquivalent umformen? Ich wäre für ein paar Erläuterungen sehr dankbar... Gruß Maria
27.06.2010, 18:18	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja die rechte Seite der Gleichung ist gemäß Vorausetzung gleich der Einheitsmatrix. Damit wäre dann aber auch die Linke Seite gleich der Einheitsmatrix. Daher (A' - B') invers zu (A' - B'). (Beachte wie ich die Matrizen bezeichnet habe in meinem letzten Beitrag)
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27.06.2010, 18:46	Maria.L.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich probiere es noch einmal: (A konjugiert)^(-1) = ((A(Real) + A(Img)) konjugiert)^(-1) = (A(Real) - A(Img))^(-1). Wenn A' die Inverese von A konjugiert bezeichnet, dann gilt: (A(Real) - A(Img)) * ((A'(Real) - A'(Img)) = Einheitsmatrix Kannst du mir jetzt sagen, wie es im Beweis explizit weiter geht? Ich persönlich komme einfach nicht weiter... Mir ist klar, dass das eigentlich recht einfach sein soll. Ich habe bloß Probleme damit, dass formal korrekt zu notieren! Dankeschön! Gruß Marie
27.06.2010, 20:05	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich werde dir einfach mal den Beweis vorführen, ich glaub das ist in diesem Fall besser als wenn wir ewig aneinader vorbeireden Im Folgenden bezeiche ich mit E die Einheitsmatrix. Es gilt: $\begin{eqnarray} E = A A^{-1} = (Re(A) + Im (A))(Re(A^{-1}) + Im(A^{-1})) = Re(A)Re(A^{-1}) + Im(A)Im(A^{-1}) + Re(A)Im(A^{-1}) + Re(A^{-1})Im(A) \end{eqnarray}$ Es muss $\begin{eqnarray} Re(A)Im(A^{-1}) + Re(A^{-1})Im(A) = 0 \end{eqnarray}$ gelten, da diese Matrizen nur aus imaginären Zahlen oder Null bestehen, sie aber aufsummiert mit $\begin{eqnarray} Re(A)Re(A^{-1}) + Im(A)Im(A^{-1}) \end{eqnarray}$ (diese Summe ist eine rein reele Matrix (warum?)) eine rein reele Matrix (E) ergeben müssen. Es gilt also: $\begin{eqnarray} E =Re(A)Re(A^{-1}) + Im(A)Im(A^{-1}) \end{eqnarray}$ Außerdem gilt: $\begin{eqnarray} (Re(A) - Im (A))(Re(A^{-1}) - Im(A^{-1})) = Re(A)Re(A^{-1}) + Im(A)Im(A^{-1}) - Re(A)Im(A^{-1}) - Re(A^{-1})Im(A) = Re(A)Re(A^{-1}) + Im(A)Im(A^{-1}) \end{eqnarray}$ Insgesammt ergiebt sich: $\begin{eqnarray} E =Re(A)Re(A^{-1}) + Im(A)Im(A^{-1}) = (Re(A) - Im (A))(Re(A^{-1}) - Im(A^{-1})) \end{eqnarray}$ Es ist also $\begin{eqnarray} Re(A^{-1}) - Im(A^{-1})=\overline{A^{-1}} \end{eqnarray}$ invers zu $\begin{eqnarray} \overline{A} \end{eqnarray}$ .

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