Wie rechnet man x-werte von verschobenen Sinusfunktionen aus?

27.06.2010, 19:03

tumber10

Wie rechnet man x-werte von verschobenen Sinusfunktionen aus?

Meine Frage:
Wie rechne ich die x-Werte von einer verschobenen Sinusfunktion (also mit sin(x-c)) mit einem y-Wert aus?

Nebenbei auch noch die Frage, was passiert, wenn es sin(x^2) ist?
Danke im Voraus

Meine Ideen:
Der Taschenrechner gibt zunächst nur eine Lösung. Bei unverschobenen kann man einfach die Periode addieren oder TR-Wert von Pi abziehen, aber kann man hier einfach diesen Wert c addieren?

Zur 2. Frage: Hier hab ich nun gar keine Ansätze unglücklich

27.06.2010, 19:58

Iorek

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Was meinst du "mit einem y-Wert"? Du hast einen y-Wert gegeben und sollst den x-Wert dazu bestimmen?

Am besten wäre es, wenn du eine konkrete Aufgabe angeben kannst, wo dein Problem liegt, damit könnte man am besten arbeiten.

27.06.2010, 20:11

tumber10

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1.f(x)=sin(x-5)
für y=0,4 suche ich x-Werte in einem Abschnitt von -10 pi bis 10 pi

2.f(x)=sin(x^2)
für y=0,4 suche ich x-Werte in einem Abschnitt von -10 pi bis 10 pi

27.06.2010, 20:14

Iorek

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Ok, damit ists klarer.

Wie würdest du das denn machen, wenn da nur $\begin{eqnarray*} f(x)=\sin(x) \end{eqnarray*}$ stehen würde? Das selbe Vorgehen kannst du jetzt auch anwenden. smile

27.06.2010, 21:18

mrburns

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Zu 1) x-5 mit z substituieren
Zu 2) man darf auch invers sinus = arcsin bilden

28.06.2010, 08:26

tumber10

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okay, des mit dem subsitutierern ist klar,
aber ist 2) mit dem arcsin noch oberstufenrelevant?

Wenn man tan(x)=x hat, dann ist das doch elementar nicht zu lösen und man kann es nur zeichnerisch x so ungefähr bestimmen, oder?

28.06.2010, 08:39

Iorek

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$\begin{eqnarray*} \tan(x)=x \end{eqnarray*}$ ist aber eine vollkommen andere Art von Aufgabe. $\begin{eqnarray*} 0{,}4=\sin(x^2) \end{eqnarray*}$ ist einfach (mit Hilfe des TR) zu lösen, $\begin{eqnarray*} \arcsin=\sin^{-1} \end{eqnarray*}$ , und das ist durchaus Oberstufenrelevant Augenzwinkern

Falls ihr Näherungsverfahren besprochen habt, könntest du damit auch rechnerisch eine Lösung für $\begin{eqnarray*} \tan(x)=x \end{eqnarray*}$ bestimmen.

28.06.2010, 08:49

Airblader

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Ich füge bei dieser Sache immer gern noch hinzu:

$\begin{eqnarray*} \sin^{-1}(x) \end{eqnarray*}$ ist hier aber keinesfalls so zu verstehen, dass man den Sinus mit -1 potenziert, d.h. es ist nicht $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sin(x)} \end{eqnarray*}$ . Nur um einem etwaigen Missverständnis vorzubeugen.

Und zur Tangens-Gleichung: Zumindest eine Lösung muss man weder berechnen, zeichnen noch rechnerisch annähern ... sondern kann sie sofort sehen:

$\begin{eqnarray*} \tan 0 = 0 \end{eqnarray*}$

air

28.06.2010, 08:51

tumber10

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ja, aber die periode verändert sich doch so, dass ich mit sin^-1 auch nur einen Wert rausbekomme und nicht die anderen x-werte

28.06.2010, 09:27

Airblader

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Ja, der Taschenrechner gibt dir für sin^(-1) immer nur eine bestimmte Lösung. Die Periode musst du danach noch selber beachten Augenzwinkern

Der Taschenrechner kann dir ja aber auch unmöglich alle unendlich vielen Lösungen geben - da wären sowohl du als auch er eine Weile beschäftigt smile

Beim Sinus hast du eine Periode zu $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ , addiert man davon also Vielfache drauf, so erhält man die weiteren Lösungen. Zusätzlich gibt es noch einen zweiten "Lösungszweig", den man beachten muss.
Schau dir z.B. mal folgendes an und gehe davon aus, wir wollen die Schnittpunkte bestimmen:

Bei etwa 0.4 ist eine Lösung und wenn du jetzt immer um 2*Pi nach links oder rechts gehst landest du wieder bei einer Lösung. Aber wie du siehst: Etwas weiter rechts (nämlich genau um Pi weiter rechts) ist auch eine Lösung, zu der es wieder unendlich viele gibt, indem man 2*Pi immer addiert oder abzieht (das ist der zweite Lösungszweig).

Am Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \sin(2x) = 0.7 \end{eqnarray*}$

Wir erhalten für $\begin{eqnarray*} \sin^{-1}(0.7) \approx 0.78 \end{eqnarray*}$ vom Taschenrechner.
Also ist

$\begin{eqnarray*} x \approx \frac{0.78}{2} = 0.39 \end{eqnarray*}$

eine Lösung, du siehst ja am Schaubild oben welche es ist.
Für den ersten Lösungszweig erhalten wir also

$\begin{eqnarray*} 2x_k \approx 0.78 + 2k\pi ~\Rightarrow~ x_k \approx 0.39 + k\pi\qquad k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Für den zweiten Lösungszweig haben wir gesehen, dass du Pi draufaddieren musst und dann Vielfache draufrechnen kannst:

$\begin{eqnarray*} 2x_l \approx 0.78 + \pi + 2l\pi ~\Rightarrow~ x_l \approx 0.39 + (2l+1)\pi\qquad l \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Alle diese $\begin{eqnarray*} x_k\text{, }x_l \end{eqnarray*}$ für alle möglichen $\begin{eqnarray*} k,l \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ bilden dann die Gesamtheit der Lösungen (wie du siehst: Das ist viel; in der Schule wird daher meistens nur nach allen Lösungen in einem bestimmten Bereich gefragt).

Ich hoffe, dass dir das erstmal helfen konnte, jetzt muss ich auch erstmal zur Uni Wink

air

28.06.2010, 11:54

tumber10

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danke für die ausführliche antwort,
aber wie komme ich denn nun bei sin(x^2)=0,6 auf die anderen Werte ausser dem Taschenrechnerwert? auch wieder subsituieren, also für x^2=z und dann die periodenpunkte für z ausrechnen und wurzeln?
habe ich dann nicht das problem, dass ich keine lösungen für xkleiner 0 erhalte, weil alle negativen werte nicht gewurzelt werden können?

28.06.2010, 12:53

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In die obige Beispielrechnung hat sich ein Fehler geschlichen:

Zitat:

Original von Airblader
Für den zweiten Lösungszweig haben wir gesehen, dass du Pi draufaddieren musst und dann Vielfache draufrechnen kannst:

$\begin{eqnarray*} 2x_l \approx 0.78 + \pi + 2l\pi ~\Rightarrow~ x_l \approx 0.39 + (2l+1)\pi\qquad l \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Nein, einfach mit "Pi draufaddieren" ist nicht: Die Symmetriebeziehung, auf die du anspielst, ist $\begin{eqnarray*} \sin(t) = \sin(\pi-t) \end{eqnarray*}$ , der zweite Lösungszweig ist also

$\begin{eqnarray*} 2x_l \approx -0.78 + \pi + 2l\pi \end{eqnarray*}$ .

28.06.2010, 14:56

Airblader

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@ Arthur

Danke - in der Hektik heute morgen habe ich erst gesehen, dass wohl ein Fehler drin war, es wieder gelöscht - dann aber wieder reingetan. Augenzwinkern

air

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