Extremwert (angewandte Differentialrechnung) |
| 27.06.2010, 19:10 | rooney | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Extremwert (angewandte Differentialrechnung) Ich habe ein kleines Problem bei folgender Aufgabe: Bestimmen Sie die Abmessungen eines offenen Bassins mit quadratischer Bodenfläche, das ein Volumen von 32 m^3 hat, wenn für den Anstrich seiner Wände und seines Bodens eine möglichst geringe Materialmenge verbraucht werden soll. Lösen Sie dieses Extremwertproblem mit Hilfe der Differentialrechnung! Mein Ansatz: Das Volumen eines Würfels: V= x^3 x^3=32 x= 3,175 32=x^3 y=x^3-32 Das waren mal meine Gedanken dazu... Wie kann ich das lösen? |
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| 27.06.2010, 19:34 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwert (angewandte Differenzialrechnung) Zum einen: Dass es um eine Würfelform geht, scheint zwar naheliegend, allerdings darfst du nicht davon ausgehen. Vielmehr muss der Körper für deinen Ansatz ein Prisma mit quadratischer Grundfläche sein. Zum anderen: Wo bleibt die zu streichende Oberfläche? 
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| 27.06.2010, 20:00 | rooney | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, danke schon mal! O= 2*A (Grundfläche)+A(Mantelfläche) A(Mantelfläche)= U(Grundfläche)*h U= 4a V= A*h Wie muss ich weiterhin vorgehen? |
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| 28.06.2010, 08:25 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine Annahme stimmen soweit 
, vorausgesetzt, du meinst hiermit ...
... dass die Mantelfläche Umfang der Grundfläche * Höhe des Körpers ist. Zu Deiner Frage, wie es weiter geht: Nun musst du die Formeln mit Leben füllen.
Dein Volumen ist dabei die NB, die zu minimierende Oberfläche die HB. Du hast 2 unbekannte Größen, nämlich die Grundseite a und die Höhe des Körpers h. Setze beides in die NB ein, stelle nach einer der Variablen um und ersetze in der HB diese Variable durch den gefundenen Ausdruck der NB.
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| 28.06.2010, 10:23 | Mathewolf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Schau mal nach deiner Hauptbedingung. Offenbar hast du überlesen, dass der Bassin offen sein soll. |
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| 29.06.2010, 13:08 | rooney | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, danke schon ma! Was genau ist NB und HB? Dass der Bassin offen ist, heist doch, dass sich die zu streichende Oberfläche um das nicht vorhandene Dach minimiert? |
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| 29.06.2010, 22:58 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Richtig, bei der Oberfläche musst du also nur einmal die Grundfläche verwenden.
NB = Nebenbedingung HB = Haupbedingung Kennst du dich damit überhaupt nicht aus? 
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| 30.06.2010, 11:35 | rooney | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also: HB: O= a^2+4*a*h (Grundfläche und Mantelfläche entsprechend ersetzt) NB: V= A*h h= V/A HB: O= a^2+4a*(V/A) |
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| 30.06.2010, 11:39 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das kannst du so machen.
Spätestens jetzt solltest du aber V und A durch konkrete Ausdrücke ersetzen.
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| 30.06.2010, 11:43 | rooney | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
V=32m^3 A=a^2 O= a^2+4a*(32/a^2) Stimmt das? |
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| 30.06.2010, 11:46 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das stimmt.
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| 30.06.2010, 11:49 | rooney | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ganze könnte ich doch jetzt mit a^2 multiplizieren: 0=a^4+4a^3*32 0=a^4+128a^3 |
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| 30.06.2010, 11:54 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, weil dein O die Oberfläche ist und keine 0. 
Der nächste Schritt wäre, die Funktion: zusammenzufassen und dann abzuleiten (Siehe Titel...)
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| 30.06.2010, 12:04 | rooney | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stimmt natürlich 
Sooo: Und jetzt kann ich es ja ableiten...stelle das Resultat dann nochmal vor |
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| 30.06.2010, 12:07 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die weitere Rechnung ist jetzt nicht mehr allzu schwer. Vielleicht überrascht es dich ja, welche Form dein Bassin hat.
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| 30.06.2010, 12:34 | rooney | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
1. Ableitung (der Bruch wurde mittels Quotientenregel abgeleitet) O´(a)=2a-128/a 0=2a^2-128 a= 8 a2=-8 O(a)´´= 2-256/a einsetzen von a=8: O´´(-8)=34>0 >>>Minimum |
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| 30.06.2010, 12:44 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine Ableitung stimmt leider nicht. Du musst keine Quotientenregel anwenden, weil du nur einen einfachen Bruch vorliegen hast. Damit du erkennst, was ich meine, schreibe die Funktionsgleichung lieber so:
Ich muss jetzt für längere Zeit off gehen. Jemand anderes kann gerne übernehmen. 
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| 30.06.2010, 12:55 | rooney | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
O´(a)= 2a-128a^-2 O´´(a)= 2+128a^-3 ? Potenzrechnung muss ich mir nochmal ankucken... |
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| 30.06.2010, 13:07 | hut | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nur zu den Ableitungen:
Da stimmt noch was nicht...
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| 01.07.2010, 09:52 | rooney | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also ich komme jetzt auf a=4 und h=2 |
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| 01.07.2010, 11:09 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Ergebnisse stimmen.
Aber die zweite Ableitung (siehe den Hinweis von hut) solltest Du noch berichtigen, denn Du brauchst sie ja, um festzustellen, ob der Extremwert ein Hoch- oder Tiefpunkt ist. |
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| 01.07.2010, 13:33 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@rooney Und wie du siehst, deine ursprüngliche Annahme, bei der Figur handelt es sich um einen Würfel, wurde widerlegt.
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