Grenzwertberechnungen

27.06.2010, 19:43

Chris2222

Grenzwertberechnungen

Hallo ich soll die Grenzwerte bestimmen (falls vorhanden)

a.) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \left(\frac{\sinh(x) }{\cosh(x) } \right) \end{eqnarray*}$

Wir lernen gerade den Satz von L'Hopital kennen und in den Übungsaufgaben haben wir den auch angewandt. Im Gegensatz zu den Übungsaufgaben haben wir hier aber doch nicht $\begin{eqnarray*} \frac{0 }{0} \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} \frac{+\infty }{+\infty } \end{eqnarray*}$ .
Gilt hier der L'Hopital Satz nicht?

Und wenn ich das richtig aufgenommen habe, dann ist der Grenzwert auch nicht unbedingt 1 . Also kann ich den Grenzwert nicht bestimmen?

b.) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0 } \frac{1-cos(\frac{x}{2})}{cos x} \end{eqnarray*}$
Würde hier doch heißen der Grenzwert ist bei $\begin{eqnarray*} \frac{0}{1} \end{eqnarray*}$ also bei 0?

Vielen Dank für eure Hilfe.

27.06.2010, 20:04

schultz

Auf diesen Beitrag antworten »

also bei a) kann sicher auch L'Hospital angewendet werden, wird dich nur nicht weiter bringen.nutze hier die Beziehung cosh(x)-sinh(x)=1.
bei b) würde ich jetzt spontan keinen fehler sehen, also mal sagen das stimmt so.

27.06.2010, 20:40

Chris2222

Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du cos²(x)-sin²(x)=1?

Ich stehe da jetzt leider immernoch ein wenig auf dem schlauch, wie ich zu der Form komme.

Ich habe mir überlegt, evtl. sinh und cosh wieder umzuschreiben und lande dann aber bei $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^{-x} } -\frac{1}{e^{x} } \end{eqnarray*}$
verwirrt

bringt mich aber auch nicht weiter...

27.06.2010, 20:45

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Zitat:

Ich habe mir überlegt, evtl. sinh und cosh wieder umzuschreiben

Bingo!

Bei a) musst du wirklich bloss ein bisschen umformen, klammere doch einfach mal $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ aus.

Dann schaut's gleich seeeeeehr freundlich aus.

Wink

27.06.2010, 21:03

Chris2222

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann habe ich

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } e^{x} - \frac{1}{e^{x} } = +\infty \end{eqnarray*}$

Also ist das dann mein uneigentlicher Grenzwert?!

Vielen Dank für die Hilfe smile

27.06.2010, 23:07

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Nö, du hast wohl irgendwo einen Fehler gemacht. Schreib' doch mal deine Zwischenschritte (bzw. gibt ja nur einen) rein.

smile

27.06.2010, 23:17

Chris2222

Auf diesen Beitrag antworten »

hmm ich habs einfach umgeschrieben.

denn $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^{-x} } = (e^{x} )^-1 = e^((-x)*(-1)) = e^x \end{eqnarray*}$

Wie soll ich denn e^x ausklammern?

27.06.2010, 23:23

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Jaja, das stimmt schon, den Fehler hast du wohl früher irgendwo gemacht.

So

$\begin{eqnarray*} \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} = \ldots \end{eqnarray*}$

solltest du anfangen. Damit ich sehen kann, wo du den Fehler gemacht hast.

27.06.2010, 23:44

Chris2222

Auf diesen Beitrag antworten »

hmm den Fehler habe ich gefunden, aber so richtig sicher bin ich mir bei meiner jetzigen Lösung auch nicht.

$\begin{eqnarray*} \frac{e^x - 1/e^x }{e^x + 1/e^x} = \frac{(e^x)² - 1 }{(e^x)² + 1} = \frac{(e^x)³ - e^x }{(e^x)³ + e^x} \end{eqnarray*}$

Und der Grenzwert ist dann 0? verwirrt

27.06.2010, 23:53

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast genau ungünstig ausgeklammert:

$\begin{eqnarray*} \frac{e^x - e^{-x} }{e^x + e^{-x}} = \frac{1 - e^{-2x} }{1 + e^{-2x}} \end{eqnarray*}$

Den Limes davon kann man nun gleich ablesen.

28.06.2010, 00:02

Chris2222

Auf diesen Beitrag antworten »

hmm dann ist der Grenzwert also doch 1.

Danke für deine Geduld. Ich muss mich da wohl noch ein wenig hineinarbeiten.

Aber jetzt wo ich deine rechnung sehe, fällt mir auch ein, dass wir das in der VL mal unter Standardtrick verbucht hatten, bei der Bestimmung von Grenzwerten smile

28.06.2010, 00:03

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

hmm dann ist der Grenzwert also doch 1.

Jop.

Neue Frage »

Antworten »

Grenzwertberechnungen

Verwandte Themen