Gebiet ist zu skizzieren

27.06.2010, 20:42

bandchef

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Gebiet ist zu skizzieren

Hi Leute!

Ich hab folgendes Gebiet "G" gegeben: $\begin{eqnarray*} 1\leq x^2+y^2\leq 4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ . Dieses Gebiet soll ich nun skizzieren. Ich weiß, dass es ein Kreis ist, aber wie skizziere ich das nun richtig in ein KS? Die beiden "kleinergleich" verstehe ich da nicht so...

27.06.2010, 20:44

Airblader

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Das Kleiner-Gleich bedeutet nur, dass der Rand auch dazugehört. Das Gebiet $\begin{eqnarray*} 1 \leq x^2+y^2 \leq 4 \end{eqnarray*}$ ist aber kein Kreis, sondern ein Kreisring (eben mit Rand).
Durch $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ "halbierst" du das Gebiet eben nochmal, indem du alle Teile der Kreisscheibe weglässt, bei denen $\begin{eqnarray*} x < 0 \end{eqnarray*}$ wäre.

Edit: Sorry, "Kreisscheibe" war der falsche Begriff - richtig ist Kreisring.

air

28.06.2010, 16:15

bandchef

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Danke für deine Antwort!

Ich hab mir nun ein KS gezeichnet. Jetzt stehe ich aber immer noch ratlos vor der Aufgabe. Wie muss ich diesen Kreisring nun einzeichnen und wie kann man das aus dem gegebenen Gebiet auf das Papier bringen? Ich frage mich quasi die ganze Zeit wie man aus dem gegebenen Gebiet den Radius des inneren Kreises, den Radius des äußeren Kreises sowie den Mittelpunkt des Kreisrings ablesen kann...

Kannst du mir das sagen?

28.06.2010, 16:26

Airblader

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Dazu brauchst du nicht mehr als die Kreisgleichung.
Jeweils durch eine Seite der "Doppel-Ungleichung" ist der Radius des inneren und äußeren Kreises gegeben (Beachte das Quadrat).

air

28.06.2010, 16:28

bandchef

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Ich hab jetzt mal das Gebiet gezeichnet. Das Bilds seht ihr unten. Ich hab das jetzt eigentlich mal mehr "intuitiv" gemacht. Woher weiß ich den Mittelpunkt des Kreises?

Als weitere Aufgabe steht jetzt: Integrieren Sie die Funktion $\begin{eqnarray*} 3x-3y \end{eqnarray*}$ auf G? Wo bekomme ich meine Integrationsgrenzen her und nach welcher Variable muss ich integrieren?

28.06.2010, 16:29

bandchef

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Zitat:

Jeweils durch eine Seite der "Doppel-Ungleichung" ist der Radius des inneren und äußeren Kreises gegeben (Beachte das Quadrat).

Man hätte also auch so schreiben können um das Gebiet zu kennzeichnen?

$\begin{eqnarray*} x^2+y^2 \leq 4 \end{eqnarray*}$ und zugleich $\begin{eqnarray*} x^2+y^2 \geq 1 \end{eqnarray*}$

Was ist eigentlich der LaTeX-Code für das Zeichen "und zugleiche"?

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28.06.2010, 16:47

Airblader

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Ja, so hätte man es schreiben können.
Meinst du $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ , also das logische "und"? (Code: "\wedge").

Deine Skizze ist falsch - ich habe extra gesagt, was du beachten sollst.
Und wie du auf den Mittelpunkt kommst kannst du dem Link entnehmen.

Auch die Bedingung x >=0 hast du vergessen.

Edit: Übernimmt dann bitte jemand? Muss gleich weg.

air

28.06.2010, 17:07

bandchef

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Ich hab doch extra das schraffierte rangemacht, das zeigen soll, dass nur x>=0 gilt...

Wie ich auf den Mittelpunkt komme erschließt sich mir leider aus dem wiki artikel nicht...

28.06.2010, 17:57

Airblader

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Da steht doch groß, dass die Gleichung für einen Kreis mit Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} (x_M / y_M) \end{eqnarray*}$ und Radius r so lautet:

$\begin{eqnarray*} (x-x_M)^2 + (y-y_M)^2 = r^2 \end{eqnarray*}$

Und es ist doch nicht schwer, das nun rückwärts zu lesen.
Falls es hilft:

$\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = (x-0)^2 + (y-0)^2 \end{eqnarray*}$

air

28.06.2010, 18:25

bandchef

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Woher weißt du, dass xm=ym=0 ist? Was du offenbar vorher schon wissen musstest du da ja das sonst nicht in die Mittelpunktsformel einsetzen hättest können. Und um genau gehts mir ja die ganze Zeit. Woher weißt du dass der Mittelpunkt (offenbar) xm=ym=0 ist...

28.06.2010, 18:40

Airblader

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Willst du mich verschaukeln verwirrt

verwirrt

Du hast (etwas vereinfacht gesagt) die Kreisgleichung $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = 4 \end{eqnarray*}$ gegeben. Willst du jetzt anzweifeln, dass diese Gleichung das selbe ist wie $\begin{eqnarray*} (x-0)^2 + (y-0)^2 = 4 \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

air

28.06.2010, 20:56

bandchef

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Nein, ich will dich nich verschaukeln. Das kommt nur daher weil ich mich richtig auskenne.

Was bestimme ich nun hiermit: $\begin{eqnarray*} (x-0)^2 + (y-0)^2 = 4 \end{eqnarray*}$ ?

Und vor allem ich weiß noch immer nicht wie du auf xm=ym=0 kommst!

28.06.2010, 21:03

Airblader

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Also ich kanns nur noch versuchen, indem ich es klipp und klar gegenüberstelle:

Deine Gleichung:
$\begin{eqnarray*} (x-0)^2 + (y-0)^2 = 4 \end{eqnarray*}$

Allgemeine Gleichung:
$\begin{eqnarray*} (x-x_M)^2 + (y-y_M)^2 = 4 \end{eqnarray*}$

Sorry, aber jetzt solltest du eigentlich wirklich sehen, wie man auf x_M = y_M = 0 kommt. Vergleich doch einfach mal beide Gleichungen Idee!

Idee!

air

28.06.2010, 21:07

bandchef

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Deine Gleichung:
$\begin{eqnarray*} (x-0)^2 + (y-0)^2 = 4 \text{ ausmultiplizieren} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = 4 \end{eqnarray*}$

Wenn ich das nun mit dem gegebenen Gebiet vergleich fällt mir auf, dass auch auf den "gleichen" Ausdruck nur komme, wenn ich eben in der Mittelpunktsgleichung x_M=y_M=0 setze... Hast du das gemeint?

28.06.2010, 21:09

Airblader

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Genau

Freude

Aber ich habe das Gefühl, so ganz verstanden hast du es noch nicht.
Du musst, wenn du eine Gleichung für einen Kreis hast, sie einfach auf die Form der allg. Kreisgleichung bringen und kannst so Mittelpunkt und Radius ablesen. In deinem Fall ist es besonders einfach, weil es im Grunde schon die allgemeine Gleichung war (eben für x_M = y_M = 0).

Was du jetzt noch korrigieren solltest (weils in der Skizze falsch war) ist der Radius des Kreises.

air

28.06.2010, 21:12

bandchef

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Welcher Radius war denn falsch? Ich weiß nämlich nicht welcher...

Ich hab ja quasi zwei Gleichungen, nämlich:

$\begin{eqnarray*} x^2+y^2\leq4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^2+y^2\geq1 \end{eqnarray*}$

28.06.2010, 21:15

Airblader

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Genau. Die "Kleiner-Gleich" bewirken ja nur, dass die Fläche gemeint ist. Beschränken wir uns mal auf das "Gleich", wie bisher auch.

Allgemeine Kreisgleichung:

$\begin{eqnarray*} (x-x_M)^2 + (y-y_M)^2 = r^2 \end{eqnarray*}$

Deine Gleichung:

$\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = 4 \end{eqnarray*}$

Dass x_M = y_M = 0 ist haben wir ja nun herausgefunden. Für den Radius hast du 4 genommen. Jetzt vergleiche nochmal ganz genau, was bei dir und was in der allgemeinen Kreisgleichung steht.
Wie ich bereits um 16:26 Uhr schrieb:

Zitat:

Beachte das Quadrat

Falsch war nur einer der Radien ... aber wohl nur, weil du Glück hast, dass 1² = 1 ist. Sonst wär der andere sicher auch falsch geworden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

28.06.2010, 22:00

bandchef

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Du bist mir doch sicher nich böse, wenn wir an der Aufgabe morgen weiter machen, oder? Ich hab jetzt leider keine Zeit mehr!

28.06.2010, 22:03

Airblader

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Ne, passt schon. Morgen muss dir aber ggf. jemand anders weiterhelfen, da ich nahezu den ganzen Tag beschäftigt bin.

air

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