Dichtefunktion Z=XY

28.06.2010, 02:23

fnsr21

Dichtefunktion Z=XY

Hallo!

Ich habe eine (für mich) unverständliche Aufgabe. Es ist nur gegeben:

Seien X und Y unabhängig, mit Dichtefunktionen f bzw. g. Zeigen Sie:

(a) XY besitzt die Dichtefunktion

$\begin{eqnarray*} p(x) = \int_{-\infty}^\infty\frac{1}{|y|}g(y)f\left(\frac{x}{y}\right)\mathrm dy \end{eqnarray*}$

(b) Falls $\begin{eqnarray*} Y \neq 0 \end{eqnarray*}$ f.s., hat X/Y die Dichtefunktion

$\begin{eqnarray*} p(x) = \int_{-\infty}^\infty|y|g(y)f(xy)\mathrm dy \end{eqnarray*}$

Als Hinweis ist nur gegeben, dass für $\begin{eqnarray*} X_1, \dots, X_n \end{eqnarray*}$ Zufallsgrößen, $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ ihre gemeinsame Verteilung auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} h:\mathbb R^n\to\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ (borel-)messbar, $\begin{eqnarray*} x = (x_1, \dots, x_n) \end{eqnarray*}$ die Verteilungsfunktion der Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} Z := h(x_1, \dots, x_n) \end{eqnarray*}$ , dann haben wir
$\begin{eqnarray*} \mathbb P(Z<t) = \mu(\{x:h(x)<t\}) = \int_{h(x)<t}\mathrm 1(x)\mu(dx) \end{eqnarray*}$

Wir haben also den Fall, n=2 und $\begin{eqnarray*} Z=XY \end{eqnarray*}$ , dann komme ich aber nur auf

$\begin{eqnarray*} \mathbb P(XY < t) = \mu(\{x:f(x)g(x)<t\}) \end{eqnarray*}$ . Vlt kann ich auch nutzen, dass die Dichte- die Ableitung der Verteilungsfunktion ist...

was mir aber nicht weiterhilft...

Ich wäre für Ansätze und Tipps dankbar smile

28.06.2010, 07:13

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von fnsr21
dann komme ich aber nur auf

$\begin{eqnarray*} \mathbb P(XY < t) = \mu(\{x:f(x)g(x)<t\}) \end{eqnarray*}$ . Vlt kann ich auch nutzen, dass die Dichte- die Ableitung der Verteilungsfunktion ist...

was mir aber nicht weiterhilft...

... und sowieso nicht stimmt: Du hast die Formel vollkommen falsch "gelesen". unglücklich

Tatsächlich ist hier NICHT $\begin{eqnarray*} h(x) = f(x)g(x) \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} h(x_1,x_2)=x_1\cdot x_2 \end{eqnarray*}$ . Die Dichten $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ gehen insofern ein, dass wegen der Unabhängiggkeit von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ das Produkt $\begin{eqnarray*} f(x_1)g(x_2) \end{eqnarray*}$ die Dichte des Maßes $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ ist, d.h. für den Vektor $\begin{eqnarray*} x=(x_1,x_2) \end{eqnarray*}$ als Integrationsvariable gilt

$\begin{eqnarray*} \mu(\dd x) = f(x_1)g(x_2) ~ \dd x_1 ~ \dd x_2 \end{eqnarray*}$ ,

was dann auch der Schlüssel zur Integralberechnung über Fubini ist.

29.06.2010, 20:27

fnsr21

Auf diesen Beitrag antworten »

Schon einmal vielen Dank für deine Antwort.

Leider haben wir in der Vorlesung keine Definition bekommen, was eine Dichtefunktion nun wirklich ist...in der Literatur konnte ich mir jetzt schon ein bisschen was anlesen. Was ich nur immer noch nicht verstehe, ist die Transformation der Integrationsgrenzen.

Ich habe mich an einem anderen Beispiel versucht:

$\begin{eqnarray*} F(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y) \end{eqnarray*}$

Dann ergibt sich doch

$\begin{eqnarray*} F(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y)=P((X,Y)\in (-\infty,x)\times (-\infty,y))=\int_{(-\infty,x)\times(-\infty,y)} f_{X,Y}(u,v)\,\mu(\mathrm du, \mathrm dv)\\=\int_{(-\infty,x)}\int_{(-\infty,y)}f_{X,Y}(u,v)\,\mu(\mathrm du)\mu(\mathrm dv)=\int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^y f_{X,Y}(u,v)\,\mathrm du\mathrm dv=\int_{-\infty}^y\int_{-\infty}^x f_{X,Y}(u,v)\,\mathrm du\mathrm dv \end{eqnarray*}$

Wie ich das aber auf $\begin{eqnarray*} P(XY < t) \end{eqnarray*}$ anwende ist mein Problem...

29.06.2010, 20:39

Auf diesen Beitrag antworten »

Oben bei $\begin{eqnarray*} P(Z<t) \end{eqnarray*}$ wird integriert über alle $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} xy < t \end{eqnarray*}$ . Nun wollen wir das also gemäß Fubini schreiben als Integral

$\begin{eqnarray*} P(Z<t) = \int\limits_{y=\ldots}^{\ldots} ~ \int\limits_{x=\ldots}^{\ldots} ~ f(x)g(y) ~ \dd x ~ \dd y \end{eqnarray*}$

Was ist nun für diese $\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$ einzusetzen? Nun, für die äußere $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Integration gibt's erstmal keine Einschränkungen, die läuft von $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ .

Wie bekommt man nun aber bei festem (!) $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Wert die Grenzen für die innere $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Integration, wenn eben die Bedingung $\begin{eqnarray*} xy < t \end{eqnarray*}$ erfüllt sein muss? Na durch Umstellen dieser Ungleichung!

Neue Frage »

Antworten »

Dichtefunktion Z=XY

Verwandte Themen