Addition von Mengen

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Ambrosius Auf diesen Beitrag antworten »
Addition von Mengen
ich soll zeigen, das für Teilmengen A,B aus einem Vektorraum E gitl:



Da ich bisher noch nie mit solchen Dingen gerechnet habe, weiß ich nicht so ganz wie ich da dran gehen soll:



und



Ich habe so angefangen:

Sei mit x = 2a = a+a, woraus die Behauptung folgt.


Das im allgemeinen nicht gilt A+A = 2 A würde ich so zeigen:

, dann ist und
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt alles soweit! Freude
Julchen_X Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich nun zwei Kompakte Mengen X und Y habe. Wie zeige ich das die Summe auch kompakt ist?

X und Y sind Teilmengen eines top. VR E und nicht notwendigerweise endlichdimensional. Geht das nur über Überdeckungen?
Ambrosius Auf diesen Beitrag antworten »

Also da ich in diesem gebiet auch gerade stecke, geb ich keine Garantie für meinen Tipp.

Der top. VR ist ja definiert, als ein Vektorraum E mit einer Topologie T, so dass T Hausdorfftop. ist und die algebraischen Operationen stetig sind.

Nutze Stetigkeit der Addition und Translationsinvarianz der Topologie, also das man offene Mengen verschieben kann ohne die Offenheit zu verlieren. Dann sollte sich ein Überdeckung von X+Y finden lassen denk ich.

Vielleicht kann Dual Space nochmal drüber schauen und entweder meinen Ratschlag zerschmettern oder absegnen smile
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Ambrosius: Die Idee find ich grundsätzlich gut und ich denke, sie könnte erfolgreich sein. Aber mehr als den Konjunktiv kann ich dir im Moment nicht bieten.
Julchen_X Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst mal danke an euch für die schnelle Antwort.

Es gibt nach Voraussetzung endliche Teilüberdeckungen von X und Y. Wegen der Stetigkeit der Addition existiert eine Umgebung von X+Y und die "addition" der Überdeckungen ist in der Umgebung von X+Y enthalten. Damit ist eine endliche Teilüberdeckung gefunden und X+Y ist kompakt.

gehts so? Natürlich muss ich das noch formal aufschreiben
 
 
Julchen_X Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie sieht das aus mit dem Beweis von X kompakt Y abgeschlossen, daraus folgt X+Y abgeschlossen?

Also ich muss doch eigentlich nur zeigen das E ohne (X+Y) offen ist. hab mir das wieder so überlegt wie bei der obigen Aufgabe. also durch verschieben von offenen Mengen. Nur weiß ich nicht wo dort die Kompkatheit einfließt.
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