Rotationsfläche in Polarkoordinaten wie bestimmen?

28.06.2010, 13:19	Lysimachos	Auf diesen Beitrag antworten »
Rotationsfläche in Polarkoordinaten wie bestimmen? Meine Frage: Hallo ich hab folgendes Problem: Aufgabe: Durch Drehung dr Parabel z = 4 - x^{2} um die Z-Achse entsteht ein Rotationskörper, dessen Bodenfläche in die X-Y-Ebene fällt. Gesucht ist das Volumen? Die Rotationsfläche z = 4 - (x^{2} + y^{2}) lautet in Polarkoordinaten: XXX Meine Frage ist, wie kommt man auf die Rotationsfläche, ausgehend von z = 4 - x^{2} ??? Hab da irgendwie grad voll kein Plan... Die Umformung von Karthesischen- in Polarkoordinaten ist kein Problem. Hänge nur an diesen einen Schritt... PS: Ist eine Beispielaufgabe aus dem Papular Band 2, 10. Auflage, Seite 364 (2) Danke schon mal... Meine Ideen: keine Idee Es scheint so einfach zu sein, aber irgendwie raff ich es nicht? Vielleicht aus der Skizze lesen? Oder muss die Ratationsfläche in der Aufgabe gegeben sein?
28.06.2010, 14:02	Lysimachos	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rotationsfläche in Polarkoordinaten wie bestimmen? Folgende Idee: Funktionsgleichung einer zur Z-Achse rotationssymmetrischen Fläche besitzt allegmein folgende Funktion: z = f(sqrt(x^2+y^2)) Kreis in X-Y-Z-Koordinatensystem: x^2+y^2 = r^2, z = f(r) = const. mit Substitution: x -> sqrt(x^2+y^2) D.h. bezogen auf die Aufgabe mit: z = 4 - x^2 mit Substitution: z = 4 - (sqrt(x^2+y^2))^2 = 4 - (x^2 +y^2) Ist das so?!.
28.06.2010, 14:28	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Lassen wir mal die Kreissache und auch die Funktionsgleichung der Fläche aussen vor, denn wir wollen ohne Umschweife das Volumen des von der Kurve $\begin{eqnarray} z = 4 - x^2 \end{eqnarray}$ bei Rotation um die z-Achse erzeugten Drehkörpers bestimmen. Da bietet sich doch die einfache Formel $\begin{eqnarray} V_z = \pi \int x^2 \dd z \end{eqnarray}$ an! Also für $\begin{eqnarray} x^2 = 4 - z \end{eqnarray}$ einsetzen, nach z in den Grenzen von 0 bis 4 integrieren und schon bist du fertig! ___________________ Da du aber gleich zu Anfang die Polarkoordinaten (siehe Überschrift!) ins Spiel bringen wolltest, warum tust du das dann nicht konsequent, wenn dir das kein Problem bereitet? $\begin{eqnarray} x = 2 \cos \varphi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z = 4 \sin^2 \varphi \end{eqnarray}$ Die Integration (beachte die Grenzen bei $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ von 0 bis $\begin{eqnarray} \frac {\pi} 2 \end{eqnarray}$ ) ist allerdings ein wenig schwieriger, aber auch hier ergibt sich letztendlich das gleiche Volumen. [ $\begin{eqnarray} V_z = 8 \pi \ E^3 \end{eqnarray}$ ] mY+

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