Funktion f(x,y) auf Stetigkeit prüfen

28.06.2010, 16:54	Physinetz	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion f(x,y) auf Stetigkeit prüfen Hallo, ich soll folgende Funktion auf Stetigkeit überprüfen: $\begin{eqnarray} f: R² --> R : {(x,y)} --> \begin{pmatrix} \frac{sin(xy)}{xy} \quad xy \neq 0 \\ 1 \quad \quad xy=0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dazu habe ich eine Folge $\begin{eqnarray} a_{n} =(\frac{1}{n} , \frac{1}{n} ) \end{eqnarray}$ aufgestellt, somit: $\begin{eqnarray} f(a_{n} )= \frac{sin(\frac{1}{n²)} }{\frac{1}{n²} } \end{eqnarray}$ Hier haperts nun, gegen was es strebt also: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } f(a_n) \end{eqnarray}$ Laut wolframalpha gegen 1, was damit die Stetigkeit zeigen würde. Doch leider ist hier ja kein l'Hospital anwendbar, und Sandwichabschätzung bringt mich auch nicht weiter, jemand eine Idee wie man draufkommt? Gruß und einmal mehr: Danke an die Experten!!!
28.06.2010, 17:00	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion f(x,y) auf Stetigkeit prüfen Ohne nen direkten Ansatz zu haben was man damit machen kann hätte ich gesagt dass es stetig ist. Auf den Grenzwert kommst du, wenn du 1/n^2 =: z substituierst. Aber ich denke genau diese Substitution kann zeigen (natürlich etwas allgemeiner), dass es stetig ist. [Dabei bin ich mir leider nicht sicher, wie standfest es ist]
28.06.2010, 17:17	Physinetz	Auf diesen Beitrag antworten »
Weltklasse stimmt! Kurz noch ne andere Frage: Sind folgende Funktionen stetig, bzw. lassen sich stetig fortsetzen? $\begin{eqnarray} f:{(R \diagdown {0})} \times R:{(x,y)} --> \frac{x³-xy²}{2x} \end{eqnarray}$ Also stetig ist sie ja da x=0 nicht zum Def-Bereich gehört. Dann muss ich ja gar nicht überprüfen ob diese fortsetzbar sind? Wenn ich mal die Lücke mitnehme müsste die Funktion für x=0 die Funktion den Wert 0 annehmen, richtig? Habe mir das so gedacht: Wenn ich hier wieder wähle $\begin{eqnarray} a_{n} =(\frac{1}{n} , \frac{1}{n}) \end{eqnarray}$ würde es ja auch gegen 0 konvergieren... Ebenfalls hier: $\begin{eqnarray} f:{(R\diagdown{(0)})} \times (R\diagdown{(0)}):{(x,y)}--> \frac{x³-xy²}{2xy} \end{eqnarray}$ auch hier müsste ich für x*y=0 den Wert 0 nehmen um die Funktion stetig fortzusetzen? Hoffe ich vertue mich hier nicht und ihr versteht was ich meine (ich verstehe es nämlich nicht ganz ;-) )
28.06.2010, 17:26	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur damit das klar ist, nur weil eine Folge gegen etwas konvegiert, heißt das nicht, dass es stetig ist. Man will, dass alle Nullfolgen Folgen gegen den gleichen Grenzwert konvegieren. Deswegen bieten sich konkrete Nullfolgen nur an, wenn du zeigen willst, dass sie zu 2 verschiedenen Grenzwerten führen und es damit nicht stetig sein kann. Und natürlich musst du sehen, ob du die Lücke im Definitionsbereich schließen kannst. Bei beiden würde ich erstmal x rauskürzen, das was rauskommt ist schon eine Ecke harmloser. Dann kannst du bei der ersten benutzen, dass sich konvergente Folgen freundlich gegenüber Multiplikation und Summation verhalten. Beim zweiten würde sich anbieten bei Wolfram anzuschauen wie es denn so aussieht und zu überlegen, obs stetig sein kann und dann entweder zu widerlegen (spezielle Folgen ausprobieren) oder zu beweisen (allgemeine Folgen bzw Epsilion-Delta-Kriterium anwenden).
28.06.2010, 20:39	Physinetz	Auf diesen Beitrag antworten »
ok habs verstanden was du meinst! aber wie man es dann hier beweist/nachrechnet weiß ich trotzdem nicht so, da das delta-epsilon kriterium mich schon immer abgeschreckt hat^^ $\begin{eqnarray} \frac{x²}{2y}-\frac{y}{2} \end{eqnarray}$ Hmm müssen jetzt x und y gegen 0 konvergieren? Puh nicht so wirklich nen Plan von...und mit wolfram alpha will ich das ungern lösen, in der Prüfung nachher darf ichs leider auch nicht Wär cool wenn mir da jemand auf die Sprünge helfen würde. Thx
28.06.2010, 20:42	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Es wäre gut wenn du ein Gefühl für Stetigkeit entwicklen würdest, und das geht am besten mit rumspielen. Man könnte sehen wenn y eine Nullfolge ist, ist das rechte erstmal vernachlässigbar. Links sieht man im Prinzip: Wenn x^2 schneller gegen 0 geht als y geht der Bruch gegen 0, und wenn y schneller als x^2 gegen 0 geht? Damit im Hinterkopf kannst du ja mal 2 Folgen konstruieren und sehen was passiert.
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