Zeige, dass es in Gruppe mit Ordnung 60 genau 10 3er Sylowgruppen gibt |
| 28.06.2010, 20:03 | Very | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Zeige, dass es in Gruppe mit Ordnung 60 genau 10 3er Sylowgruppen gibt ich möchte zeigen, dass es in der Gruppe der Ordnung |G|=60 genau zehn 3er Sylowgruppen gibt. Dabei bin ich schon so weit gekommen: [attach]15341[/attach] Jetzt muss ich aber noch zeigen, dass der Fall für h=1 herausfällt. Ich komme aber noch nicht darauf, wie ich das anstellen könnte. Was könnte ich denn untersuchen, um das festzustellen? Vielen Dank für eure Hilfe schon mal im Voraus. Very |
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| 28.06.2010, 22:18 | Manus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Öhm, ist die Gruppe irgendwie näher spezifiziert? Im Allgemeinen ist die Aussage nämlich in meinen Augen falsch. |
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| 28.06.2010, 22:44 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Aussage stimmt jedenfalls für einfache Gruppen. |
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| 28.06.2010, 22:47 | Manus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Tatsache; Für abelsche Gruppen stimmt genau das Gegenteil. |
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| 28.06.2010, 22:50 | Very | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
oh ja. Man soll das für einfache Gruppen nachweisen... das steht in der Überschrift drüber, hab ich übersehen... sorry |
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| 28.06.2010, 22:54 | Manus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Für einfache Gruppen ist die Aussage ziemlich leicht zu zeigen. Wenn es nur eine p-Sylowgruppe gibt, was gilt dann für diese? |
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| 28.06.2010, 23:07 | Very | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also für eine p-Sylowgruppe auf jedenfall, dass p eine Primzahl ist und dass die Ordnung jedes Elements eine Potenz von p ist. Aber ich weiß nicht, ob es das ist, was du meinst... ich weiß noch nicht genau, worauf du rauswillst. Bis jetzt habe ich das hier gerechnet: Ich habe über und mit p=3 und damit a=2 *2*5=20 gerechnet. Dann habe ich was äquivalent zu verwendet und habe mit p=3 die Fälle h=1, h=2 und h=3 berechnet. Dabei komme ich bei h=1 auf 4/20, was stimmt. Bei h=2 auf 7/20 was nicht stimmt und bei h=3 auf 10/20 was stimmt. Irgendwie muss ich jetzt noch den Fall für h=1 rausfallen lassen, damit ich das eindeutige Ergebnis 10 habe, was ja gezeigt werden sollte. |
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| 28.06.2010, 23:12 | Manus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Korrekt. Du willst den Fall h=1 jetzt ausschließen. Dazu führen wir den nun auf einen Widerspruch. Angenommen, es gäbe nur eine 3-Sylowgruppe, welche Eigenschaft müsste diese dann haben (beachte, das zwei p-Sylowgruppen konjugiert zueinander sind)? |
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| 28.06.2010, 23:16 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Fall h=1 sieht für mich nach aus; du meintest wohl , vgl.
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| 28.06.2010, 23:41 | Very | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja genau, darauf bin ich auch gekommen. Das ergibt ja 4/20 was stimmt. Ich möchte aber zeigen, dass also muss ich ausschließen, oder sehe ich das falsch? Darf ich auch h=0 einsetzen? Dann würde ich ja erhalten 1/20 was wiederum stimmt und was ich auch ausschließen müsste...
Dann dürfte es keine andere Gruppe geben, die zu der Sylowgruppe konjugiert ist, da dies sonst eine weitere Sylowgruppe wäre und es damit mehr als eine 3-Sylowgruppe geben würde, oder? |
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| 30.06.2010, 08:21 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mal noch ein Tipp von mir, um Syl3(G) = 4 auszuschließen: waere dies gegeben, dann gaebe es einen Homomorphismus von deiner Gruppe der Ordnung 60 in die S4 (symmetrische Gruppe der Ordnung 4!). Es ist aber 60>4!, also ist dieser Homomorphismus nicht injektiv... Sorry, dass ich kein LaTeX nutze, ich bin unterwegs. |
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