Komplizierte Integalberechnung

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Tobiass Auf diesen Beitrag antworten »
Komplizierte Integalberechnung
Meine Frage:
Berechnen Sie die Integrale
a)

b)
.

Meine Ideen:
Ich habe leider gar keine Idee wie ich an die Berechnung rangehen kann, deswegen erhoffe ich mir hier ein paar Tipps.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplizierte Integalberechnung
Bei dem ersten mach dir erstmal die Definition des Kotangens zu Nutze:



Damit ergibt sich erstmal das Integral (die Grenzen kannst du erstmal beiseite legen, ist einfacher):



Findest du nun eine passende Substitution?

Der zweite ist schon etwas unangenehmer. Vielleicht gibt es einen schöneren Weg, aber einen Zugang könnte man bekommen, indem man unter der Wurzel ausmultipliziert und dann eine quadratische Ergänzung macht. Nach einigen weiteren Umformungen führt das dann zum Arkussinus.
Tobiass Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplizierte Integalberechnung
Vielen Dank!
Das zweite Integral hab ich hinbekommen, die Umformung beim ersten Integral auch, aber ich seh noch keine passende Substitution.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplizierte Integalberechnung
Gut, dann substituiere einfach



Da wirst du sehen, dass das wunderbar aufgeht.
Tobiass Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplizierte Integalberechnung
was setz ich dann für das einzelne x im Nenner ein?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplizierte Integalberechnung
löse nach x auf.
 
 
Tobiass Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplizierte Integalberechnung
Wenn ich nach x auflöse, müsste sein.
Stimmt das?
Dann ergit sich für das Integral:
.
Ist das so richtig?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplizierte Integalberechnung
Zitat:
Original von Tobiass

Dann ergit sich für das Integral:
.
Ist das so richtig?


hier stimmt etwas nicht:
mi8t .
dein integral müsste also sein:



nun noch dx substituieren...

edit: und dann kommt was super einfaches heraus.....
Kühlkiste Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplizierte Integalberechnung
Zitat:
Original von lgrizu
löse nach x auf.


Entschuldige, dass ich mich einmische - aber wozu soll das gut sein?

Leite doch einfach mal ab und guck Dir dann den Integranden noch mal...
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplizierte Integalberechnung
@ kühlkiste:
ich weiß, dass der weg, den ich vorgeschlagen habe etwas rechenaufwendiger ist, ich denke aber, er ist nachvollziehbarer.
außerdem, wenn man nach x auflöst sieht man sofort, wie dx/du ausschaut und was im integranden übrig bleibt....
Tobiass Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplizierte Integalberechnung
Dann steht da doch:

Wie komm ich damit weiter?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplizierte Integalberechnung
Zitat:
Original von Tobiass
Dann steht da doch:

Wie komm ich damit weiter?


das ist falsch.


wenn du das einsetzt erhälst du



nun noch kürzen....
Tobiass Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplizierte Integalberechnung
Jetzt versteh ichs, aber wie komm ich jetzt auf die Integrationsgrenzen?
Wo muss ich und einsetzen?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplizierte Integalberechnung
Ich möchte allerdings vehement einwenden, dass ich darauf nun wirklich nicht hinaus wollte (siehe auch kühlkiste). Wenn man einfach mal den zu substituierenden Ausdruck ableiten, findet man



Einfach nach Kettenregel. Und nun werfe man nochmal einen Blick auf das Integral:



Da liest man sofort ab:



Igrizus Weg, erstmal alles stur zu ersetzen, funktioniert natürlich auch. Aber wenn man ein bisschen mit der Integralsubstitution vertraut ist und das System dahinter kapiert hat, dann kann man sich diese unnnötig aufwendigen Umformungen wirklich schenken. Das nur als Hinweis für Tobiass. Hier liegt ein Integral der Form



vor, was man spätestens beim Ableiten dann auch sehen sollte. Die Lösung dafür sollte man wissen (Stichwort "logarithmische Integration).
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplizierte Integalberechnung
Zitat:
Original von Tobiass
Jetzt versteh ichs, aber wie komm ich jetzt auf die Integrationsgrenzen?
Wo muss ich und einsetzen?


du hast substituiert, also hast du neue integrationsgrenzen.
deine substitution war , deine neuen grenzen sind also und
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplizierte Integalberechnung
@ mulder:
Zitat:
Original von Mulder

Aber wenn man ein bisschen mit der Integralsubstitution vertraut ist und das System dahinter kapiert hat, dann kann man sich diese unnnötig aufwendigen Umformungen wirklich schenken.


ich gehe nicht davon aus, dass das beim fragesteller gegeben ist, ansonsten hätte er es sofort erkannt und die frage hätte sich erübrigt, ebenso wäre die frage überflüssig, wie denn die neuen grenzen zu wählen sind, wenn der fragesteller eine "intuitive" vorstellung von integral substitution hätte.
ich denke, es ist durchaus legitim, den umständlichen, aber deskriptiven weg zu gehen, um eine intuition für solche operationen hervorzurufen.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplizierte Integalberechnung
Zitat:
Original von lgrizu
ich denke, es ist durchaus legitim, den umständlichen, aber deskriptiven weg zu gehen, um eine intuition für solche operationen hervorzurufen.

Du musst dich auch nicht rechtfertigen, es ist auch nicht schlimm, wenn er das so einmal zu sehen bekommt. Aber für die Zukunft kann er sich das dann auch ruhig mal sparen. Das wollte ich nur anmerken. smile

Edit: Übrigens, da er das zweite Integral, das ich persönlich viel schwerer finde, ja so ohne weiteres hinbekommen hat, wie er sagt, dachte ich schon, dass er da enigermaßen fit ist. Augenzwinkern
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplizierte Integalberechnung
Zitat:
Original von Mulder
Übrigens, da er das zweite Integral, das ich persönlich viel schwerer finde, ja so ohne weiteres hinbekommen hat, wie er sagt, dachte ich schon, dass er da enigermaßen fit ist. Augenzwinkern


hmm, finde ich auch schwerer, hab ich überlesen, dass Tobiass das hinbekommen hat, ich dachte, da gehts dann danach dran.
naja, jetzt hat er einen ausführlichen weg gesehen, der, ohne frage, rechenaufwendig ist.......
Tobiass Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplizierte Integalberechnung
Ich glaub, das Problem lag auch darin, dass ich bisher fast keine Integration durch Substitutuion gemacht habe, dafür aber schon einige trickreiche Möglichkeiten gesehen habe, an andere Integrale heranzugehen.
Aber vielen Dank für die Hilfe!!
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplizierte Integalberechnung
wie hast du denn das 2te integral gelöst?
partialbruchzerlegung halte ich für äußerst schwierig, ebenso erkennen der stammfunktion (das sogar für fast unmöglich), also bleibt substitution als der einfachste weg.
Tobiass Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplizierte Integalberechnung
Ich hab erstmal die Wurzel ausmultipliziert und umgeformt:



Das in die Wurzel eingesetzt, dann ergibt sich das Integral:

mit .
.

Weiter vereinfachen geht nicht.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplizierte Integalberechnung
Zitat:
Original von Tobiass


Das in die Wurzel eingesetzt, dann ergibt sich das Integral:

mit .


hier hast du substituiert, also die neuen grenzen beachten, du kannst nicht einfach die alten integrationsgrenzen beibehalten....
und dx substituieren...
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplizierte Integalberechnung
Die Idee dahinter hast du jedenfalls richtig erkannt. Allerdings scheinst du die Substitution des dx vergessen zu haben. Mit



ergibt sich



Und wenn du die Grenzen beiseite legen und rücksubstituieren willst, ist das okay. Aber dann solltest du sie nicht die ganze Zeit mitschleppen, sonst wird es formal falsch.

Übrigens: Da du sagtest, du hättest das nur durch Nachgucken lösen können:



kann man auch einfach von Hand lösen, indem man nochmal substituiert, und zwar mit

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