Zeige, dass alle Untergruppen der Quaternionengruppe normal sind

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Very Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige, dass alle Untergruppen der Quaternionengruppe normal sind
Hallo,
ich möchte zeigen, dass alle Untergruppen der Quaternionengruppe normal sind.
Die Quaternionengruppe ist die Gruppe mit der Verknüpfung

Nun habe ich mir zuerst überlegt, welche Untergruppen es alles gibt:
Für jede Untergruppe muss gelten, dass das Inverse auch in der Untergruppe liegt
Für jede Untergruppe muss gelten, dass zu zwei Elementen auch ihre Verknüpfung in der Untergruppe liegt.
Außerdem sollte die Untergruppe abgeschlossen sein.

Damit habe ich die Untergrupen:





Könnte ich auch die Ganze Gruppe mit in die Untergruppen nehmen, oder ist bei Untergruppen gefordert, dass sie echte Teilmengen der Ausgangsgruppe sein müssen?

Ich glaube das müssten alle Untergruppen sein. Liege ich da richtig?

Jetzt kann ich ja für jede Untergruppe einzeln nachprüfen, ob sie normal ist. Ein Normalteiler ist invariant unter Konjugation also Ng=gN.
Aber ich sehe noch nicht, wie ich das hier konkret anwenden kann. Ich habe ja nur Gruppen mit Elementen darin. Wo sind denn mein g und mein N?

Bin ich hier auf dem richtigen Weg und wie kann ich diese Invarianz unter Konjugation konkret prüfen?

Vielen Dank für eure Hilfe schon mal im Voraus.
Very
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht hilft Bestimmen aller Untergruppen und Normalteiler
 
 
Very Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Link. Das ist ja eine sehr ähnliche Aufgabe. Ich konnte schon einiges anhand dieser Lösung nachvollziehen, habe aber auch noch einige Fragen dazu.

Zitat:

Zudem kann nützlich sein.


Das habe ich glaube ich schon mal gesehen. Aber was bedeutet denn die linke Seite? Das weiß ich nicht mehr genau. Das rechts bedeutet, dass U Normalteiler von G ist.

Zitat:



Das heisst, also schonmal, dass die von letzteren Elementen erzeugten Gruppen alle Normalteiler sind.


Die Ordnung der Elemente kann ich bestimmen.

Für die Ordnung einer Gruppe gilt:
Die Ordnung einer Gruppe ist die Anzahl ihrer Elemente.
In der Gruppentheorie ist die Ordnung n eines Gruppenelements g die kleinste positive ganze Zahl, für die gilt (mit dem neutralen Element e).

Hier würde ich also den zweiten Satz anwenden.
Wenn ich 1 als das neutrale Element sehe, muss ich 1 1mal mit sich selbst malnehmen, dass ich 1 erhalte. Also o(1)=1
-1 muss ich 2 mal mit sich selbst malnehmen um 1 zu erhalten also o(-1)=2.


analog habe ich das für alle anderen Elemente auch ausgerechnet und bin bei den restlichen überall auf Ordnung 4 gekommen.

Ich habe also Untergruppen von den Ordnungen 1, 2 und 4. Also komme ich auf dasselbe Ergebnis wie das, das mir der Satz von Lagrange geben würde, denn 1, 2 und 4 die Ordnungen der Untergruppe teilen jeweils 8, was die Ordnung der Quaternionengruppe ist.

Zitat:
Also gehe die Ordnungen durch und kläre ab, welche Untergruppen es gibt und ob sie normal in Q sind.

Also die Ordnungen habe ich ja schon abgehakt und für die Prüfung auf Normalteiler müsste ich die Elemente doch überprüfen, ob sich invariant unter Konjugation sind (was unten kommt).
Aber wieso kann ich dann darauf schließen, dass die von den Elementen mit Ordnung 4 erzeugten Gruppen Normalteiler sind? Muss ich das nicht für alle Elemente einzeln durchrechnen?

Zitat:
Beachten solltest du noch folgendes: Mache dir klar, dass für ein Gruppenelement g gilt , um etwas über die Anzahl der Untergruppen der Ordnung 4 zu erfahren.

Das bedeutet doch das die Ordnung des Gruppenelements dieselbe ist wie die Ordnung der 3. Potenz des Gruppenelements. Ich habe das jetzt für alle Elemente einzeln nachgeprüft.
Also also ist auch die Ordnung dieselbe
also ist auch die Ordnung dieselbe
die Ordnung von i und -i stimmt überein und ist =4
und die Ordnungen von -i und i stimmen überein.
und die Ordnungen von j und -j stimmen überein.
und die Ordnungen von -j und j stimmen überein.
und die Ordnungen von k und -k stimmen überein.
und die Ordnungen von k und -k stimmen überein.
Damit stimmt die obige Aussage.

Ich weiß, dass ich eine Untergruppe der Ordnung 1 habe, eine Untergruppe der Ordnung 2 und 6 Untergruppen der Ordnung 4. Aber was habe ich über über die Untergruppen der Ordnung 4 herausgefunden?

Bei der Prüfung ob diese Gruppen nun alle Normalteiler sind, hänge ich noch etwas. Mir ist klar, dass ich zeigen muss, dass die Elemente unter Konjugation invariant sind. Aber warum wird in dem anderen Thread das gerade mit K durchgeführt? Müsste ich das für E nicht mit allen anderen Elementen machen und dann für -E mit allen anderen Elementen und dann mit J mit allen anderen Elementen,... Das wären dann insgesamt ja 49 Rechnungen.

Und ich verstehe auch noch nicht, warum man
Zitat:
gebe ich dir vor.
braucht und wie man auf das kommt

Zitat:
Deshalb gibt es 3 weitere zyklische Untergruppen der Ordnung 4. Diese sind alle Normalteiler.


Very
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Die Beziehung sagt dir, dass je zwei Elemente der Ordnung 4 gemeinsam in liegen müssen, woraus du mit der Anzahl der Elemente der Ordnung 4 (nämlich 6) folgern kannst, dass es 3 Gruppen der Ordnung 4 gibt.

Diese sind nun alle Normalteiler in , denn es gilt, dass , und da du gesagt hast, dass du nicht kennst, definiere ich es dir: .
Wenn dir der Satz nicht bekannt ist, beweise ihn.

Man braucht , da man alle Untergruppen von untersuchen soll und diese zwei trivialen Untergruppen gehören nunmal dazu. Sie sind aber auch in jeder Gruppe normal.

Edit: "je zwei" in der ersten Zeile hinzugefügt.
Very Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Die Beziehung sagt dir, dass je zwei Elemente der Ordnung 4 gemeinsam in liegen müssen


Ich sehe irgendwie noch nicht, wie aus dieser Bedingung folgt, dass je zwei Elemente der Ordnung 4 gemeinsam in liegen müssen. Sollte ich das sehen können oder ist das auch einfach etwas, das man wissen sollte und das einen längeren Beweis hat?
Ist der Aufspann von g, also alles, was man (durch Linearkombinationen?) mit Elementen aus g erreichen kann?
Und ich habe hier ja die zwei Elemente mit Ordnung 1 und 2 noch nicht betrachtet. Die müsste ich doch auch noch darauf untersuchen, ob sie Normalteiler sind. Gibt es da auch so einen Satz, oder muss ich da anders herangehen?

Zitat:
Diese sind nun alle Normalteiler in , denn es gilt, dass


Das ist im Fall der Gruppen der Ordnung 4 erfüllt, da Also folgt daraus nach dem Satz, dass U ein Normalteiler von G ist. Den Satz kenne ich allerdings noch nicht. Ich weiß aber gerade gar nicht, wie ich an den Beweis herangehen könnte.


Zitat:
Man braucht , da man alle Untergruppen von untersuchen soll und diese zwei trivialen Untergruppen gehören nunmal dazu. Sie sind aber auch in jeder Gruppe normal.

Ok, hab ich verstanden.

Dann habe ich also insgesamt die Untergruppen , dann drei Untergruppen der Ordnung 4 (kann ich die auch explizit angeben? Ich hätte mir überlegt {-1,1, -i, i}, {-1,1, -j, j} {-1,1, -k, k} ) und dann noch eine Untergruppe der Ordnung 1 {1} und eine Untergruppe der Ordnung 2 {-1, 1}

Wobei ich bei den Untergruppen der Ordnung 1 und 2 noch nicht gezeigt habe, dass sie Normalteiler sind und mit bei den Untergruppen der Ordnung 4 der Beweis fehlt.

Bist du soweit einverstanden und wie könnte ich an diese Dinge, die mir noch fehlen herangehen?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Very
Zitat:

Die Beziehung sagt dir, dass je zwei Elemente der Ordnung 4 gemeinsam in liegen müssen


Ich sehe irgendwie noch nicht, wie aus dieser Bedingung folgt, dass je zwei Elemente der Ordnung 4 gemeinsam in liegen müssen. Sollte ich das sehen können oder ist das auch einfach etwas, das man wissen sollte und das einen längeren Beweis hat?
Ist der Aufspann von g, also alles, was man (durch Linearkombinationen?) mit Elementen aus g erreichen kann?
Und ich habe hier ja die zwei Elemente mit Ordnung 1 und 2 noch nicht betrachtet. Die müsste ich doch auch noch darauf untersuchen, ob sie Normalteiler sind. Gibt es da auch so einen Satz, oder muss ich da anders herangehen?


. Und dass gilt, kann man sich ganz leicht überlegen, indem man sich ansieht.

Zitat:
Zitat:
Diese sind nun alle Normalteiler in , denn es gilt, dass


Das ist im Fall der Gruppen der Ordnung 4 erfüllt, da Also folgt daraus nach dem Satz, dass U ein Normalteiler von G ist. Den Satz kenne ich allerdings noch nicht. Ich weiß aber gerade gar nicht, wie ich an den Beweis herangehen könnte.


Ungefähr so: Es ist , also die Anzahl der Rechtsnebenklassen ist gleich der Anzahl der Linksnebenklassen. Es gilt also für ein und somit ...

Zitat:
[REST]


Ich weiß ja nicht, warum du all diese Gruppen explizit aufschreiben willst, das wäre mit viel zu kompliziert.
Du kennst ja die Anzahl der Elemente einer bestimmten Ordnung. Überlege also, was für Gruppen der Ordnung 2 es gibt und ob es mehr als eine Untergruppe dieser Ordnung geben kann. Warum die Gruppe der Ordnung 2 normal ist, findest du im verlinkten Beitrag.
Warum es nur die bisher gefundenen Untergruppen der Ordnung 4 gibt, steht ebenfalls im verlinkten Beitrag.
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