Konstruktion einer Funktion

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axiom_09 Auf diesen Beitrag antworten »
Konstruktion einer Funktion
Hallo allerseits, hat jemand vielleicht eine Idee, wie man bei der folgenden Aufgabe eine Funktion konstruieren könnte?

Konstruieren Sie eine Funktion , die stetig, jedoch nicht gleichmäßig stetig ist. Beweisen Sie Ihre Behauptung.

Ich habe so etwas überhaupt noch gar nicht gemacht gehabt und weiss deshalb nicht, wie man das anstellen soll.

Viele Grüße
axiom_09
Cordovan Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Überlege dir, was passiert, wenn U kompakt ist. Dann orientiere dich z.B. am eindimensionalen Fall und wähle eine Funktion, die nach außen hin sehr groß wird.

Cordovan
axiom_09 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, ich denke eine Funktion die nach außen hin wächst und wächst wäre z.B. die e-Funktion. Wenn U kompakt wäre, dann würde die Fkt. nur innerhalb eines bestimmten Intervalls stetig aber sie würde nicht nach außen hin wachsen. Aber weiter komme ich jetzt irgendwie nicht.

Gruß
axiom_09
axiom_09 Auf diesen Beitrag antworten »

Hätte vielleicht jemand andere noch eine Idee?

Grüße axiom_09
Cordovan Auf diesen Beitrag antworten »

Was gilt denn für stetige Funktionen auf kompakten Definitionsgebieten? Damit weißt du, dass solche Gebiete sich nicht eignen.

Dann mach doch einfach mal ein kleines Gebiet, wie zum Beispiel die offene Einheitskreisscheibe. Was für eine Funktion wächst zum Rand des Kreises hin stark an?

Cordovan
axiom_09 Auf diesen Beitrag antworten »

Nach Satz gilt, auf kompakter Menge würde das ja nicht gehen, da eine Funktion in einem abgeschlossenen Intervall nicht nur stetig, sondern auch gleichmäßig stetig ist. Also muss man eine Funktion mit einem offenen Intervall betrachten Aber eine passende Funktion Richtung zur offenen Kreisscheibe fällt mir jetzt leider nicht direkt ein. Könnte vielleicht sin(x) sein?

Gruß
axiom_09
 
 
Cordovan Auf diesen Beitrag antworten »

Von "Intervall" zu sprechen ist im nicht so sinnvoll. Dein Beispiel, Sinus, hat ein begrenztes Wachstum, eignet sich also nicht gerade dafür.

Versuchen wir mal was anderes. Such dir erstmal ein Gebiet aus, auf dem du eine solche Funktion konstruieren willst. Danach, im zweiten Schritt, suchen wir uns eine Funktion, die schnell anwächst.

Cordovan
axiom_09 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde ein offenes Intervall nehmen z.B. .

.

Gruß
axiom_09
axiom_09 Auf diesen Beitrag antworten »

Kennt jemand vielleicht eine zweidimensionale Funktion, die zwar stetig aber nicht gleichmäßig stetig ist?

Gruß
axiom_09
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso machst du nicht einfach mal, was Cordovan dir geraten hat?

Zitat:
Dann orientiere dich z.B. am eindimensionalen Fall und wähle eine Funktion, die nach außen hin sehr groß wird.


Ganz naheliegend wäre da doch die Funktion




Da muss man nun wirklich nicht sehr kreativ sein... geschockt
axiom_09 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso verstehe, und was jetzt den Beweis angeht, kann man den einfach sagen, dass der Beweis analog wie im eindimensionalen für nicht gleichmäßig stetig folgt?

Gruß
axiom_09
Cordovan Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde sagen, es kann nicht schaden, den Nachweis nochmal selbst zu führen.

Cordovan
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Achso verstehe, und was jetzt den Beweis angeht, kann man den einfach sagen, dass der Beweis analog wie im eindimensionalen für nicht gleichmäßig stetig folgt?

Gruß
axiom_09


Haha. Freude

Natürlich kannst du das, denn es ist dir ja schliesslich auch absolut klar, warum das so ist. LOL Hammer
axiom_09 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar und vielen Dank.

Gruß
axiom_09
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