Volumenintegral

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Wolfgang Auf diesen Beitrag antworten »
Volumenintegral
Hallo, ich habe ein Problem mit dem aufstellen des Integrals:gegeben ist:
Ein im 1. Quadranten der xy- Ebene liegendes Flächenstück wird durch die Funktiuon y=4-x^2 und y=4-4x sowie der x-Achse begrenzt. Berechnet weden soll das Volumen über dem Flächenstück unterhalb der Funktion z=6+x-y

das ich nicht weiß wie ich die beiden y-Funktion in eienm Mehrfachintergral unterbringen soll um damit das Flächenstück zu beschreiben würde ich einfach beide getrennt berechnen und dann von einander subtrahieren.
Bsp.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumenintegral
Vielleicht erstmal die Grundfläche ausrechnen?


Wolfgang Auf diesen Beitrag antworten »

das habe ich wschon gemacht das war kein Problem
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Sry, ich glauch da weiss ich nicht weiter traurig

Hatte das so noch nicht. Haber gerade mal http://www.home.fh-karlsruhe.de/~weth000...Fs/Integral.pdf

gelesen.

Könnte dann also z(x,y) der Integrand sein?
Wolfgang Auf diesen Beitrag antworten »

traurig
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Stellen wir einmal fest: Gesucht ist

,

wobei G das von den Graphen und der x-Achse eingeschlossene Gebiet ist.

Wenn man jetzt in y-Richtung integriert, so ist die untere Grenze und die obere (wir sind im 1. Quadranten). Das Integral in y-Richtung lautet also

.

In x-Richtung muss dann noch von 0 bis 2 aufsummiert werden:

.

Du berechnest hier übrigens kein Volumen-, sondern ein Flächenintegral, denn du integrierst über eine Fläche.
 
 
Wolfgang Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sqrt(2)
Du berechnest hier übrigens kein Volumen-, sondern ein Flächenintegral, denn du integrierst über eine Fläche.


Hm, in der Aufgaberstellung steht eindeutig Volumen...
Ok wenn man das so machen kann mit oberer grenze und unterer dann ist ja gut. Aber ich verstehe nicht warum noch mal ein Integral mit den Grenzen von 0 bis 2 bestimmen das nicht schon die beiden y-Funktionen?
...rechne es gleich mal durch
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Wolfgang
Zitat:
Original von sqrt(2)
Du berechnest hier übrigens kein Volumen-, sondern ein Flächenintegral, denn du integrierst über eine Fläche.


Hm, in der Aufgaberstellung steht eindeutig Volumen...

Du erhältst ein Volumen, aber wenn du normal über ein Intervall (1-dimensional) integrierst, erhältst du ja eine Fläche (2-dimensional). Wenn du über eine Fläche integrierst (Flächenintegral), dann erhältst du eben ein Volumen (3-dimensional), wenn du über ein Volumen integrierst, erhältst du ein vierdimensionales Etwas.

Zitat:
Original von Wolfgang
Ok wenn man das so machen kann mit oberer grenze und unterer dann ist ja gut. Aber ich verstehe nicht warum noch mal ein Integral mit den Grenzen von 0 bis 2 bestimmen das nicht schon die beiden y-Funktionen?

Du hast zuerst in y-Richtung integriert. Dabei hast du über eine Parallele zur y-Achse integriert, also nur über einen infinitesimal dünnen Streifen der Fläche. x war dabei fest, aber zwischen 0 und 2 frei wählbar. Jetzt musst du alle diese Streifen noch einmal in x-Richtung aufsummieren, das ergibt das zweite Integral.
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, mir ist gerade ein Fehler aufgefallen:

Bei der Integration in y-Richtung wird auch noch über die Strecke unterhalb der x-Achse integriert.

Entweder man integriert also zuerst in x-, und dann in y-Richtung, oder man teilt das Integral auf:

Wolfgang Auf diesen Beitrag antworten »

also kann man sagen immer soweit wie die Flächenbegrenzung geht (Funktion) in dem Fall 2.
Und 0 weil die berechnende Fläche Dort beginnt (1.Quadrant)


Also wenn die eine y-Funktion 5-4x satt 4+4x heißen würde hatte ich als ertses Intergral von 0,27 bis 2 satt 0bis 2

sehe ich das richtig?
Wolfgang Auf diesen Beitrag antworten »

Aber da nur die Fläche zwischen den zwei Graphen gefragt ist und das daraus resultierende Volumen mit der z -Funktion kommt da nicht was ganz anderes raus?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt, ich kenn mich nicht so aus. traurig Aber hilft dir hier

http://www.fh-karlsruhe.de/servlet/PB/sh...gabenblatt2.pdf

die letzen beiden Aufgaben?
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Wolfgang
Also wenn die eine y-Funktion 5-4x satt 4+4x heißen würde hatte ich als ertses Intergral von 0,27 bis 2 satt 0bis 2

Ja, in x-Richtung. Wobei du wie gesagt aufpassen musst, dass du in y-Richtung wirklich von 0 weg integrierst (4-4x bzw. 5-4x wird ja auch mal negativ, da taugt es nicht mehr als untere Grenze).

Zitat:
Original von Wolfgang
Aber da nur die Fläche zwischen den zwei Graphen gefragt ist und das daraus resultierende Volumen mit der z -Funktion kommt da nicht was ganz anderes raus?

Ja natürlich. Es wird ja auch über ein anderes (größeres) Gebiet integriert.
Wolfgang Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sqrt(2)



aber hier habe ich doch einen Teil der Fläche doppelt drin.

Ich blicke gar net mehr durch LOL Hammer
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, welchen Teil denn?
Wolfgang Auf diesen Beitrag antworten »

die blau schraffierte Fläche

http://img135.imageshack.us/img135/7939/diaguv7.jpg
Wolfgang Auf diesen Beitrag antworten »

weil es sich eigenmtlich nur um die rot schr. Fläche handelt
http://img84.imageshack.us/img84/289/diad2sa4.jpg
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Über die blau schraffierte Fläche wird überhaupt nicht integriert. Auf wird in y-Richtung über das Intervall integriert, also zwischen den beiden Kurven.
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