Basis aus Strukturmatrix/Grammatrix

28.06.2010, 20:26

mooo1

Basis aus Strukturmatrix/Grammatrix

Ich schon wieder =)

In unseren Übungen soll für eine
Matrix $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
gelten, dass V ein dreidim. Vektorraum sei, und $\begin{eqnarray*} Basis B = \left\{ v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} \end{eqnarray*}$ und A eben eine Strukturmatrix bzgl. B zu der BLF
$\begin{eqnarray*} \langle , \rangle \end{eqnarray*}$ ist eben eine Bilinearform auf V zu der A dann wieder Strukturmatrix ist...
Ich weiß, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} <v_1,v_1> & <v_1,v_2> & <v_1,v_3> \\ <v_2,v_1> & <v_2,v_2> & <v_2,v_3> \\ <v_3,v_1> & <v_3,v_2> & <v_3,v_3> \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und A ist ja sichtbar symmetrisch.

Ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray*} C := \{v1-;v2, v3-v2, v2\} \end{eqnarray*}$ Basis von V ist und die Strukturmatrixbzgl. C berechnen.

Also hab ich überlegt, dass ich B ausrechne. Aber gleichungen aufstellen funktioniert nicht, bzw ich hab rumprobiert usw. und komm einfach auf nichts.
Könnte ich theoretisch ohne B auf C kommen bzw. ohne Konkrete werte kommen?

Außerdem ist meine Frage:
Wenn A keine Strukturmatrix bezgl. der Einheitsbasis ist, kann ich dann trotzdem nach

$\begin{eqnarray*} vAw^{T} \end{eqnarray*}$

einfach die Bilinearform aufstellen?
Ja oder?
Wäre dann:
$\begin{eqnarray*} \langle v,w \rangle = 2k_{1}h_{1} -k_{1}h_{2} -k_{2}h_{1} + k_{2}h_{2}+ k_{2}h_{3}+ k_{3}h_{2} +4k_{3}h_{3} \end{eqnarray*}$

Aber wie gesagt, durch LGS komme ich einfach auf nichts.
Auch schon hab ich überlegt, dass ja die Spaltenvektoren einer Matrix das Erzeugnis des Bildes ist, wenn ich zeige dass die Linear Unabhängig sind, ist das dann eine Basis von V? bzw. Könnte das meine Basis B irgendwie sein, so dass A entsteht.
Vllt gibts da nen Trick?

Das hab ich nämlich auch schon versucht, bin aber erneut auf nichts gescheites gekommen.

Über Hilfe bin ich sehr dankbar =)

Edit: LaTeX korrigiert. Geschweifte Klammern mit \{ und \}. Gruß, Reksilat.

29.06.2010, 15:32

mooo1

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okay,
mittlerweile bin ich soweit,
dass ich gezeigt habe,
dass C eine Basis von V ist.
(Da: B ja eine Basis ist und wegen $\begin{eqnarray*} k_{1} = k_{2} = k_{3} = 0 \end{eqnarray*}$ müssen auch $\begin{eqnarray*} v_{1} \neq v_{2} \neq v_{3} \end{eqnarray*}$ (also alle paarweise? verschieden). Daher muss C ja wegen Dimension 3 und lin. unab. auch ne Basis sein.

Allerdings habe ich immer noch keine Ahnung wie ich jetzt den Basis wechsel bekomme, da ich ja nicht mal ne BLF angegeben bekommen habe. Bzw die ja nur bzgl. B ist und ich b ja nicht kenne. irgs.
Helfen anyone? =)

30.06.2010, 10:02

Reksilat

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Hallo mooo,

Zitat:

Original von mooo1
okay,
mittlerweile bin ich soweit,
dass ich gezeigt habe,
dass C eine Basis von V ist.
(Da: B ja eine Basis ist und wegen $\begin{eqnarray*} k_{1} = k_{2} = k_{3} = 0 \end{eqnarray*}$ müssen auch $\begin{eqnarray*} v_{1} \neq v_{2} \neq v_{3} \end{eqnarray*}$ (also alle paarweise? verschieden). Daher muss C ja wegen Dimension 3 und lin. unab. auch ne Basis sein.

Was sind denn diese $\begin{eqnarray*} k_i \end{eqnarray*}$ ?
Für lineare unabhängigkeit reicht es übrigens nicht, dass die Vektoren paarweise verschieden sind. Nicht mal paarweise lineare Unabhängigkeit reicht aus. Die Menge $\begin{eqnarray*} \{(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)\} \end{eqnarray*}$ ist ja schließlich auch keine Basis, obwohl je zwei Vektoren linear unabhängig sind.

Du kannst aber zum Beispiel zeigen, dass im Erzeugnis von $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ auch die Menge $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ liegt. Damit muss dann $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ den ganzen VR erzeugen und ist somit ein minimales Erzeugendensystem, also eine Basis.

Für die Matrix der Bilinearform bzgl. einer Basis $\begin{eqnarray*} C=\{w_1,w_2,w_3\} \end{eqnarray*}$ brauchst Du doch eigentlich nur die ganzen Werte für $\begin{eqnarray*} \langle w_i,w_j\rangle \end{eqnarray*}$ , welche dann Deine Matrixeinträge bilden. Diese kannst Du hier anhand der bekannten Werte für $\begin{eqnarray*} \langle v_i,v_j\rangle \end{eqnarray*}$ berechnen. Dazu benötigst Du nur, dass es sich hier um eine Bilinearform handelt.

So ist doch $\begin{eqnarray*} \langle w_1,w_2\rangle=\langle v_1-v_2,v_3-v_2\rangle=... \end{eqnarray*}$

Gruß,
Reksilat.

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