Integration über ein Dreieck?

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bandchef Auf diesen Beitrag antworten »
Integration über ein Dreieck?
Hi Leute!

Ich hab folgende Aufgabe gegeben:

Berechnen Sie das Integral mit für das Dreieck mit den Ecken (0,0); (1,0); (1,1).

Ich hab jetzt mal so angesetzt:




Was jetzt dabei mein Problem ist, ich hab ja nur zwei Variablen in die ich aber laut Angabe 3 Grenzen einsetzen soll. Wie soll das gehen? Könnt ihr mir helfen?
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration über ein Dreieck?
f(x,y) enthält gar kein y: stimmt das?
bandchef Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Wisili, vielleicht liest du ncohmal mein erste Frage durch. Ich hab was editiert nicht das ich was editiert hab das falsch ist.

Und zu deiner Frage: enthält wirklich kein y
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

wäre ungünstig zum Rechnen.

Mache es besser andersherum:



wobei das innere Integral bloss einfach x ist.
bandchef Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort. Was ist aber nun mit meiner Frage nach den Grrenzen? Ich hab 3 Grenzen gegeben aber nur zwei Variablen... Wie soll ich mir das vorstellen?
bandchef Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mir jetzt mal ein KS mit dem Dreieck, beschrieben durch die 3 Punkte hingezeichnet. Ich bekomme dann quasi jetzt als Grenzen doch noch auch die Winkelhalbierende durch den Nullpunkt, oder? Also qasi y=x Wie gehe ich jetzt wetier vor?

Diesen Schritt von dir verstehe ich nicht... Wo kommt das x aufeinmal her? Ist dass das x welche ich oben beschrieben habe und warum steht das dann als Obergrenze drin und eine 0 als Untergrenze?
 
 
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist das «x» des Dreiecks-Randes «y=x».
Man kann sich das Dreieck zerlegt denken in y-achsenparallele Strecken, die für jedes x von (x,0) bis (x,x) reichen: Man integriert nach y von 0 bis x. Im zweiten Schritt integriert man dann «quer» dazu für x von 0 bis 1.

Zum Doppelintegral: Da der Integrand nur von x abhängt und das innere Integral über y geht, ist er für die innere Integration konstant und kann vor das Integral gestellt werden.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bandchef
Danke für deine Antwort. Was ist aber nun mit meiner Frage nach den Grrenzen? Ich hab 3 Grenzen gegeben aber nur zwei Variablen... Wie soll ich mir das vorstellen?


Du hast nicht 3 Grenzen, sondern einen 2-dimensionalen Bereich (Dreieck).
Das führt zu einem Doppelintegral.
bandchef Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab jetzt die Aufgabe nochmals von vorne aufgezäumt. Ich hab jetzt folgendes Doppelintegral dastehen:



Ich hab jetzt allerdings ein Problem mit der Integration der inneren Fkt. Ich hab hier den Bruch mal auseinander gezogen und part. integriert. Aber da komm ich bloß noch auf ein schwierigereres integral. Substitution funktioniert ja auch nicht so recht, oder?

Könnt ihr mir helfen?

EDIT: Wo kommt eigentlich die 1 her?
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von wisili
wäre ungünstig zum Rechnen.

Mache es besser andersherum:



wobei das innere Integral bloss einfach x ist.


Ich kann nicht mehr dazusagen.
bandchef Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, andersherum ist es wirklich besser. *lach* Ich hab da wohl wieder gemeint schlauer zu sein als andere.

Kanns du mir noch die Frage beantworten, wo die 1 herkommt? Sehe da nämlich nicht aus welchen Grund die da steht...
bandchef Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich die integration nun durchgeführt habe komm ich nun auf das Ergebnis: -cos(1)-1. Laut Musterlösung soll aber 1-cos(1) rauskommen...
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch sicher -cos(1)-(-cos(0)) = 1 - cos(1).

(Die 1 als Integrand-Faktor ist nicht wichtig, dass man sie schreibt. Ich hoffte, es helfe nachzuvollziehen, dass die Stammfunktion x heisse.)
bandchef Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
(Die 1 als Integrand-Faktor ist nicht wichtig, dass man sie schreibt. Ich hoffte, es helfe nachzuvollziehen, dass die Stammfunktion x heisse.)


Wie ich die aufgabe das erste Mal ohne deine Hilfe gelesen habe, bin ich davon ausgegangen, dass man das fehlende y mit einer 0 integrieren muss. Aber wie man weiß ergibt eine integrierte 0 wieder 0. Kannst du auf die 1 noch genauer eingehen woher die kommt? Ich habs nämlich noch nicht verstanden...

Ich bin nun auch auf das richtige Endergebnis gekommen...
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Betreff 1: Lass die Eins weg; vermutlich liegt es dir besser.
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