Integral über Streckenzug

29.06.2010, 11:07

schorsch2010

Integral über Streckenzug

Ich hätte hier ne kurze Frage.
Also ich mach Integrale über Zellen.

Wenn ich jetzt eine Zelle erster Dimension hab, könnte man es als Waagrechte oder Senkrechte interpretieren und bei einer Differentzialform $\begin{eqnarray*} \omega= xdy+ydx \end{eqnarray*}$ es locker lösen indem man halt x bzw y konstant setzt.

Wenn ich eine Zelle zweiter Dimension habe, ists quasi eine Rechtecksfläche und ich hab verschachtelte Integrale. Auch noch ganz klar.

Jetzt hab ich eine Aufgabe gefunden die ca so Aussieht.

Berechnen sie $\begin{eqnarray*} \int_C \! xdy + ydx \end{eqnarray*}$ (Das Integral über C halt, dummes C will nciht weiter runterrutschen, aber ihr wisst was ich meine).
Wobei C der Streckenzug mit folgenden Punkten (x|y) ist.
(-2|1) -> (-1|0) -> (1|0) -> (0|1)

Mich verwirrt jetzt halt, dass die erste und die letzte Teilstrecke variabel in x und in y sind... eigentlich sind sie ja dann zweidimensional (Rechtecksflächen), aber keine Strecken...

Oder sind hier die Punkte nur als Streckenzug gegeben?

Jetzt hab ich dann aber das Problem, dass in einer Kette nur Zellen der gleichen Dimension sein dürfen. Also kann ich leider nicht die Zweidimensionalen mit der eindimensionalen Strecke addieren.
Hammer

Hat hier jemand eine Idee dazu?

Gruß,
Schorsch

Tanzen

29.06.2010, 12:59

system-agent

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Streckenzug bedeutet, du sollst einen geraden Weg in der Ebene nehmen und entlang diesem integrieren.

Zb. ergibt $\begin{eqnarray*} \gamma_1: [0,1]\to\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} \gamma_1(t):=(-2,1)(1-t)+t\cdot(-1,0) \end{eqnarray*}$
eine gerade Strecke vom Punkt $\begin{eqnarray*} (-2,1) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} (-1,0) \end{eqnarray*}$ .

29.06.2010, 13:22

schorsch2010

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Edit: Hab gerade gemerkt, dass ich den ersten Post nicht mehr editieren kann.
Aber das macht eigentlich für deine Erklärung für den Streckenzug keinen Unterschied.
Korrigiert sind die Punkte (x|y) folgend:
(-2|-1) -> (-1|0) -> (1|0) -> (2|1).

Hmm ok danke.
So hab ich es mir eh auch vorgestellt.
Weil wenn wir es mal schlicht betrachten ist das Integral von so einer Strecke einfach deren länge.
Also ganz stupide (weil alle positive gerichtet sind). Ups gerade Fehler in der Angabe (ayay, die ist so schlecht kopiert) geshene... der erste Punkt soltle (-2|-1) sein und der letzte (2|1). (Edit).

Das Ergebnis sollte 1+2+1=4 sein.

Jetzt würd ich nur gern wissen, wie man das sonst hübsch in ein Integral verpackt, weil zum Beispiel für das Mittelstück.

$\begin{eqnarray*} \int_{Z2} \! xdy + ydx =\int_{-1}^1 \! \, dx = 2 \end{eqnarray*}$

Danke!

29.06.2010, 17:30

system-agent

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Zitat:

Original von schorsch2010
Weil wenn wir es mal schlicht betrachten ist das Integral von so einer Strecke einfach deren länge.

Nein, das ist schlicht falsch.

Was meinst du mit "in ein Integral verpacken"?

29.06.2010, 17:54

schorsch2010

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... dann halt nicht.

Ja ich soll ja das Integral darüber machen. Wenn wir den Streckenzug jetzt als S bezeichnen und die einzelnen Teile als Z1, Z2 und Z3 und deren Vorzeichen c1, c2 und c3.

$\begin{eqnarray*} S=c_{1} Z_{1} + c_{2}Z_{2} +c_{3}Z_{3} \end{eqnarray*}$

dann sollte das hier sein.

$\begin{eqnarray*} \int_S \! \omega \ = c_{1} \int_{Z_{1}} \! \omega \ + c_{2} \int_{Z_{2}}\! \omega \ +c_{3} \int_{Z_{3}} \! \omega \ \end{eqnarray*}$

und gegebenhab ich ja

$\begin{eqnarray*} \omega \ = xdy + ydx \end{eqnarray*}$

Im letzten Post hab ich es eh für das Mittelteil gerechnet.

Hmm wäre super wenn du mir da bisschen weiterhelfen könntest.

Danke im vorraus.

29.06.2010, 20:39

Leopold

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Was du hier über Dimensionen schreibst, verstehe ich nicht. Zur Berechnung eines Kurvenintegrals $\begin{eqnarray*} \int_C \omega \end{eqnarray*}$ über eine Differentialform

$\begin{eqnarray*} \omega = u(x,y)~\dd x + v(x,y)~\dd y \end{eqnarray*}$

brauchst du nur eine stückweise differenzierbare Parameterdarstellung der Kurve:

$\begin{eqnarray*} C: \ [a,b] \to \mathbb{R}^2 \, , \ \ t \mapsto (x,y) = \left( \varphi(t), \psi(t) \right) \end{eqnarray*}$

Dann kannst du ganz formal vorgehen, indem du die Größen $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ in der Differentialform durch $\begin{eqnarray*} \varphi(t) , \psi(t) \end{eqnarray*}$ ersetzt:

$\begin{eqnarray*} u \left( \varphi(t) , \psi(t) \right)~\dd \varphi(t) + v \left( \varphi(t) , \psi(t) \right)~\dd \psi(t) \end{eqnarray*}$

und das Ganze in den Grenzen von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ integrierst. Die Differentiale werden wie üblich berechnet, zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} \dd x = \dd \varphi(t) = \varphi'(t)~\dd t \end{eqnarray*}$

Nehmen wir das Beispiel von system-agent. Er hat dir die erste Strecke von $\begin{eqnarray*} p = (-2,1) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} q = (-1,0) \end{eqnarray*}$ parametrisiert. Das Ganze solltest du von der Schule her kennen, es entspricht ja der vektoriellen Parameterdarstellung einer Geraden. Hier ist also

$\begin{eqnarray*} x = \varphi(t) = -2 + t \, , \ \ y = \psi(t) = 1 - t \, ; \ \ \ 0 \leq t \leq 1 \end{eqnarray*}$

Und jetzt ganz einfach die Differentiale berechnen

$\begin{eqnarray*} \dd x = \varphi'(t)~\dd t = \dd t \, , \ \ \dd y = \psi'(t)~\dd t = - \dd t \end{eqnarray*}$

und in $\begin{eqnarray*} \omega = y~\dd x + x~\dd y \end{eqnarray*}$ einsetzen:

$\begin{eqnarray*} (1-t)~\dd t + (-2+t)~\left(- \dd t\right) = \left( 1 - t + 2 - t \right)~\dd t = \left( 3 - 2t \right)~\dd t \end{eqnarray*}$

Und darüber mußt du nun in den Grenzen von 0 bis 1 integrieren.

Übrigens ist die Differentialform exakt, das heißt, es gibt eine Funktion $\begin{eqnarray*} F = F(x,y) \end{eqnarray*}$ zweier Variablen mit $\begin{eqnarray*} \dd F = \omega \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} \dd F = \frac{\partial F}{\partial x}~\dd x + \frac{\partial F}{\partial y}~\dd y = \omega \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ kann man hier leicht durch Probieren finden. Für diesen Spezialfall kann man das Kurvenintegral direkt durch

$\begin{eqnarray*} \int_C \omega = F(q) - F(p) \end{eqnarray*}$

berechnen, man braucht dann keine Parameterdarstellung. Falls ihr aber in der Vorlesung noch nicht so weit seid, bleibt dir nur der andere Weg.

29.06.2010, 20:48

schorsch2010

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Ahhh danke Gott

Jetzt hat sich das Ganze auch für mich verständlich gemacht.
Super!

Wünsch euch noch einen schönen Abend und vielen dank für die Hilfe.

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