Endomorphismus / char(f) / min (f)

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Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »
Endomorphismus / char(f) / min (f)
Hallo zusammen!

Ich hoffe, mir kann jemand bei folgender Aufgabe helfen:
[attach]15349[/attach]
(durchs draufklicken wird es größer)

Die Teiler g habe ich bereits, da ich f in Linearfaktoren zerlegen konnte und zwar gitl: f = t*(t-1)²*(t+1)³.

Den Rest der Aufgabe verstehe ich leider gar nicht. Mein Übungsgruppenleiter hat leider auch erst Donnerstag Abend sprechstunde und ich würde die Aufgabe gerne schon vorher lösen.

Vielleicht kann mir jemand erklären, was überhaupt gemeint ist und mir evtl. ein Beispiel zeigen, damit ich es analog an den anderen Teilern versuchen kann?

Ich weiß, dass das Minimalpolynom aus Linearfaktoren des char. Polynoms besteht (evtl. mit einer geringeren Vielfachheit) und das daher das Minimalpolynom das char. Polynom immer teilt.

Aber ich versteh nicht, auf was ich jeden Teiler g untersuchen soll , wie ich mir so einen Endomorphismus vorstellen soll und was das mit der Matrix bezgl. des Standardbasistupels zu tun hat.

Es wäre super lieb, wenn mir jemand die Aufgabe näher bringen könnte!
Danke!
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Die Vielfachheit der Linearfaktoren im min. Polynom sind die Stufen der höchststufigen Hauptvektoren zu den einzelnen Linearfaktoren(Eigenwerten).
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Felix!

Leider versteh ich nicht, was du mit deiner Aussage ausdrücken möchtest. Also das "die Stufen der höchststufigen Hauptvektoren zu den einzelnen Linearfaktoren(Eigenwerten). " versteh ich nicht.
Könntest du mir erklären, was damit gemeint ist und wie mir das bei der Aufgabe hilft? *auf dem Schlauch steh*
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Weißt du wie man das minimal Polynom aus der Jordan-Normalform bestimmt ?
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Jordan-Normalform hatten wir leider noch nicht.
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Weißt du was ein Hauptvektor ist?
 
 
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Auch das hatten wir leider noch nicht, zumindest nicht mit der Bezeichnung unglücklich
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Man sagt, v ist ein Hauptvektor nter Stufe zum Eigenwert t wenn gilt .

Wie auch immer. Anderer Zugang: Wie könntest du denn eine lineare ABbildung mit chark. Polynom und Minimal Polynom mit k=1,2 n=1,2,3 konstruieren? Warum können keine anderen Minimalpolynome auftreten?
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versteh den Zusammenhang zur Abb. gar nicht. Soll das vom char. Pol. ins Minimalpol. gehen oder was ist überhaupt gefragt? Wie gesagt, ich verstehe die Aufgabe überhaupt nicht.

Das Minimalpol. kann ja nicht anders aussehen, da es max. die gleichen Linearfaktoren hat wie das char. Polynom, nur die Vielfachheit kann anders sein. Deshalb kann da zu Beispiel nicht ein Linearfaktor (t+2) auftauchen.

Es ist doch auch richtig, dass nicht jeder Linearfaktor des char. Pol. im Minimalpol. enthalten sein muss, oder?
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das Minimalpol. kann ja nicht anders aussehen, da es max. die gleichen Linearfaktoren hat wie das char. Polynom, nur die Vielfachheit kann anders sein. Deshalb kann da zu Beispiel nicht ein Linearfaktor (t+2) auftauchen.


Das ist richtig Freude

Zitat:
Es ist doch auch richtig, dass nicht jeder Linearfaktor des char. Pol. im Minimalpol. enthalten sein muss, oder?


Das ist ein springender Punkt. Es ist nämlich doch der Fall. Das folgt daraus, dass ein Vektor Eigenvektor zu höchstens einem Eigenwert sein kann (warum?).

Wenn du diese Tasachen nun zusammenfasst, welche Möglichkeiten Ergeben sich dann für das Minimalpolynom.

Zu den konkreten Endomorphismen: Jeder Endomorphismus der bezüglich einer bestimmten Basis durch die Koordinatenmatrix diag(0,1,1-,1,-1,-1) gegeben ist. Hätte das Minimalpolynom x(x-1)(x+1) und das chark. Pol. f. Für die anderen Polynome in denen ein Linearfaktor mit einer Vielfachheit größer 1 vorkommt, gestaltet sich diese Konstruktion ein wenig schwieriger. Wie könnte man das machen ?
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Minimalpolynom kann nur eine der folgenden Formen haben:
t(t+1)(t-1)
t(t+1)²(t-1)
t(t+1)³(t-1)
t(t+1)(t-1)²
t(t+1)²(t-1)²
t(t+1)³(t-1)²

Mir fällt nur die Diagonalmatrix mit den Einträgen (0,1,1-,1,-1,-1), so dass das char. Poly = f ist.
Ansonsten weiß ich nicht, wie man das noch darstellen kann.

Ich weiß aber nicht, wie ich jetzt z.B. für die Matrix das Min-Pol. bestimmen kann. Irgendwie habe ich dazu auch nichts in meinen VL-Aufzeichnungen finden können unglücklich

Kannst du mir sagen, wie das geht?

Und dann muss ich weitere Matrizen basteln, die das char = f haben und deren Min-Pol eins der oben genannten ist? Gibt es dafür einen Tipp/Trick?
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Und dann muss ich weitere Matrizen basteln, die das char = f haben und deren Min-Pol eins der oben genannten ist? Gibt es dafür einen Tipp/Trick?


Tritt ein Linearfaktor mit einer Vielfachheit größer 1 auf, so bedeutet, das, dass es keine Basis aus Eigenvektoren gibt. Du wirst also mit einer Diagonalmatrix als Koordinatenmatrix nicht auskommen. Betrachten wir einmal den Fall, dass ein Linearfaktor mit Vielfachheit 2 auftritt (im Minimal Polynom) also z.B. t(t+1)²(t-1). Eine Abbildung mit diesem Minimalpolynom muss zumindest einen Vektor v(und damit einen eindimensionalen UR) besitzten für den gilt und . Die anderen Vektoren können wieder Eigenvektoren sein. Du hättest also eine Basis Wobei die dem charakteristischen- und minimal Polynom entsprechende Eigenwerte sind. Wenn du die Koordinatenmatrix dieser Abbildung betrachstest, wie muss dann die letzte Spalte aussehen, wenn und gilt?
Claudia105 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist denn für unseren ersten Fall (Diagonalmatrix mit den Eigenwerten) das Minimalpol. = t(t-1)(t+1)?? Oder wie kann ich es da ablesen?


In dem Fall Minpol = t(t+1)²(t-1) kann ich jetzt wieder die og. Diagonalmatrix nehmen, nur ein Wert muss ich abändern? Falls das so ist, woher weiß ich denn, welchen ich abändern muss?

Leider kann ich mich grad kein Bsp überlegen, so dass und gilt unglücklich Magst du mir auf die Sprünge helfen?
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ist denn für unseren ersten Fall (Diagonalmatrix mit den Eigenwerten) das Minimalpol. = t(t-1)(t+1)?? Oder wie kann ich es da ablesen?


Das ist doch klar oder? t(t-1)(t+1) ist ja offensichtlich ein Annulatorpolynom von f. Und minimal ist es auch, da Eigenwerte eindeutig sind und daher ein Eigenvektor zu einem Eigenwert t keine Eigenvektor zu einem Eigenwert t' sein kann.

Zitat:
In dem Fall Minpol = t(t+1)²(t-1) kann ich jetzt wieder die og. Diagonalmatrix nehmen, nur ein Wert muss ich abändern? Falls das so ist, woher weiß ich denn, welchen ich abändern muss?


Den Eigenraum zu 0 kannst du eindimensional wählen. Den zu 1 zweidimensional. Und den zu -1 auch zweidimensional.Aus jedem Eigenraum wählst du jetzt der Dimension entsprechend viele Vektoren, dann hast du ein l.u. System (b_5 sei dabei Eigenvektor zu -1) Nun musst du diese 5 l.u. Vektoren mit einem Vektor v zu einer Basis ergänzen, so dass gilt und .

Die zweite Gleichung zeigt, dass ein Eigenvektor zum Eigenwert -1 sein muss (diesen wählst du am besten gleich ). Also gilt wobei ein Eigenvektor zum Eigenwert -1 ist.

Wie sieht die Koordinatenmatrix von f bezüglich dieser Basis aus?
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