Bestimmung einer ganzrationalen Funktion ohne Grad- Angabe

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snoddy Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmung einer ganzrationalen Funktion ohne Grad- Angabe
Meine Frage:
Um meine note im matheunterricht zu retten, hat mir mein Lehrer heute eine Aufgabe gegeben, welche ich im Kurs vorstellen soll. Nun saß ich bereits 30 min am Tisch.. jedoch ist mir keine Lösung eingefallen. Nicht einmal ansatzweise. Es ist auch das noch kommen werdende neue Thema.

Dies ist die Aufgabe:

Von einer ganzrationalen Funktion f ist folgendes bekannt
F(2)=3 f(-2)=3 f''(x)=12x^2-4

Meine Ideen:
Das wichtigste ist es ja eigentlich die allgemeine Funktion zu kennen. Aber dies ist bei dieser aufgabe nicht möglich, da der Grad nciht angegeben ist. So und dann muss man eben die Bedingungen foormulieren.. aber naja

Jedenfalls müsste doch n=3 sein oder? nehme ich an, aber ich kanns nciht begründen. Falls meine Vermutung richtig ist, dann ist doch
f(x)= ax^3+bx^2+cx+d



Achja das ganze ist heute aufgegeben bekommen und ist für morgen früh erste stunde.. also währe eine schnelle antwort sehr sehr hilfreich
vielen dank
Cel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmung einer ganzrationalen Funktion ohne Grad- Angabe
Zitat:
Original von snoddy
Von einer ganzrationalen Funktion f ist folgendes bekannt
F(2)=3 f(-2)=3 f''(x)=12x^2-4
[...]

Jedenfalls müsste doch n=3 sein oder? nehme ich an, aber ich kanns nciht begründen. Falls meine Vermutung richtig ist, dann ist doch
f(x)= ax^3+bx^2+cx+d


Zunächst - bitte fang demnächst früher an. Lehrer

n=3 kann nicht sein. Wenn ich deine Funktion zweimal ableite, kommt so etwas raus: f''(x) = 6ax + 2b, es muss aber f''(x) = 12x^2 - 4 heissen.

Was also tun? f''(x) = 12x^2 - 4 zweimal integrieren. Und bedenke: Es kommen immer Konstanten hinzu, die du dazu schreiben musst.
snoddy Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe es mit einer Funktion 4. und 5. grades probiert.
bei einer funktion 5. grades kommt bei f''(x) 20ax^3 raus also passt dies nicht.

Aber bei einer Funktion 4. Grades beginnt meine zweifach abgeleitete Funktion mit 12ax^2 dies scheint korrekt zu sein, aber dabei stört mein a. es konnte irgendeine zahl sein, welches meine 12 verändern könnte. Aber wenn diese Zahl nun eine 1 ist bleibt die 12. Aber darauf folgt 6bx und die zweifach abgeleitete funtion soll ja lauten f''(x)= 12x^2-4.
Außerdem ist da bei mir noch eine 2c danach... unglücklich unglücklich verwirrt

Also irgendwie klappt hier nix. Entweder habe ichs falsch abgeschrieben, oder ich bin nicht gut genug. Woher weiß ich denn nun mit was für einer Funktion ich es hier zu tun habe?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Die allgemeine Funktionsgleichung für eine ganzrationale Funktion vierten Grades ist



Wenn du das nun zweimal ableitest, erhälst du in der Tat



Jetzt weißt du über die zweite Ableitung deiner Funktion aber ja



Was kann denn dann dein ominöses a nur sein?

Und wenn 6bx=0 sein muss, was muss dann eben b sein?

Dass die gesuchte Funktion nur vom Grad 4 sein kann, folgt sofort aus der Tatsache, dass die zweite Ableitung vom Grad 2 ist. Wenn man eine ganzrationale Funktion vom Grad n ableitet, verringert man doch alle etwaigen Exponenten um 1. Folglich ist der Grad der ersten Ableitung n-1 und der Grad der zweiten Ableitung n-2.

Vielleicht hilft dir diese Darstellung:

snoddy Auf diesen Beitrag antworten »

wieso muss 6bx=0 sein?
was ist mein b ganz konkret?

mein a ist 1 oder??

---------------------------------------------------------------------
f(x)= 12x^2+0x^1-4x^0 <- wieso am ende 4x?

die zweifach abgeleitete funktion lautet doch:
f(x)= 12x^2+6bx+2c



alsoo da ist kein x sondern ein c und dahinter kein x...

alsoo unglücklich
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmung einer ganzrationalen Funktion ohne Grad- Angabe
Also... wir kennen die zweite Ableitung. Diese lautet:



Wir wissen ja nun, dass der Exponent sich beim Ableiten um 2 verringert. Richtig? Die allgemeine Gleichung war



Die letzten beiden Glieder fallen nach zweimaligem Ableiten sowieso weg. Die zweite Ableitung ist:



Alles, was du nun noch tun musst, ist, die Koeffizienten zu vergleichen. a ist 1, das stimmt schon mal. Denn wir haben verglichen:

12ax^2 soll gleich 12x^2 sein für alle x. Das kann nur für a=1 gelten.

Jetzt steht da noch was von 6bx. Wir wissen aber, dass in der zweiten Ableitung unserer gesuchten Funktion f kein Monom vom Grad 1 vorkommt. Da steht nichts mit x. Was muss denn dann für b gelten?

Und am Ende steht da noch +2c, genau. Das ist das absolute Glied der allgemeinen zweiten Ableitung. Wir kennen aber ja die zweite Ableitung schon. Und da steht, dass das absolute Glied gerade -4 sein soll. Was muss denn dann c sein?
 
 
snoddy Auf diesen Beitrag antworten »

achso! stimmt.

dann ist:
b=0
c=-2 , weil -4 das absolute glied also 2c ist! und 2 mal -2 ist ja -4

also lautet meine funktion schon mal:
f(x)= x^4 - 2x^2 + dx + e ODER?


smile
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Freude

Jetzt hast du noch zwei Bedingungen übrig, mit denen du d und e ermitteln kannst.
snoddy Auf diesen Beitrag antworten »

jaa! und jetz habe ich f(2)=3 und f(-2)=3 angeguckt und in die stammformel eingesetzt. Dabei bekam ich folgendes heraus:

3 = 8 + 2d + e
und
3 = 8 - 2d + e

hier habe ich das Additionsverfahren benutzt und folgendes herausbekommen:

6 = 16 + e -> e = -10

und durch erneutes einsetzen: d = 10,5


Meine zu bestimmende Funktion f lautet also:
f(x) = x^4 - 2x^2 + 10,5x - 10


DANKESCHÖN ! Mit Zunge Sogar Mädchen verstehens also!!^^
Schönen Abend wünsche ich dir noch!!
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das stimmt so noch nicht! Du hast dich verrechnet. Schau bei dem Additionsverfahren nochmal genau hin, was du gemacht hast.

Und auch d ist falsch. d kann man sich auch schon ohne Rechnung überlegen, wenn man genau hinsieht.
snoddy Auf diesen Beitrag antworten »

Meine zu bestimmende Funktion f lautet:
f(x) = x^4 - 2x^2 + 8x - 5

?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmung einer ganzrationalen Funktion ohne Grad- Angabe
Wir nähern uns langsam dem Ziel. e=-5 stimmt. d ist aber noch falsch.

Überleg doch mal: Es ist doch f(2)=f(-2). Das bedeutet:

3 = 8 + 2d -5
3 = 8 - 2d -5

Das muss gleichermaßen erfüllt sein. Subtrahiere mal die obere Gleichung von der unteren (oder umgekehrt).
snoddy Auf diesen Beitrag antworten »

3 = 8 + 2d -5
3 = 8 - 2d -5

-subtrahieren-
-> 0 = 4d -> d = 0
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, jetzt stimmt es. Jetzt haben wir alles beisammen:



Viel Glück beim Vorstellen der Aufgabe. smile
snoddy Auf diesen Beitrag antworten »

Daaankeschön nochmals Hammer ich habe mich eben zu früh gefreut ja!

aber nun ist alles glasklar

dankee mulder^^
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