Zwischenwerteigenschaft zutreffend für unendlich viele Werte?

29.06.2010, 18:41

ChristianII

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Zwischenwerteigenschaft zutreffend für unendlich viele Werte?

Hallo,

Es sei I:= [a, b] ein Intervall in IR und
$\begin{eqnarray*} f: I \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$
eine Funktion, die stetig sei mit
$\begin{eqnarray*} f(a) < f(b) \end{eqnarray*}$

Da f stetig ist, nimmt f auf I alle Werte zwischen f(a) und f(b) an. Könnte für diese Funktion f unter diesen Bedingungen auch gelten:
Für jedes c mit f(a) < c < f(b) gibt es unendlich viele x-Werte in I mit:
f(x) = c?

Falls dies zutrifft: Könnte für die Funktion f auch gelten:
Für jedes c mit f(a) < c < f(b) gibt es nicht abzählbar unendlich viele x-Werte mit:
f(x) = c?

Wie könnte man die Gültigkeit bzw. die Nicht-Gültigkeit zeigen?

Für Hilfe wäre ich dankbar.

Gruß

29.06.2010, 19:50

tmo

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Zur ersten Frage: Natürlich geht das.

Definiere z.b. f(a)=0, f(b)=1 und

$\begin{eqnarray*} f(a+\frac{b-a}{2n})=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(a+\frac{b-a}{2n-1})=1 \end{eqnarray*}$

Und setze f dann zwischen diese Punkten linear fort.

29.06.2010, 19:55

ChristianII

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Hallo,

danke für die Antwort. Aber dann ist doch diese Funktion an der Stelle x = a unstetig, oder?

Die Funktion muss aber auf I stetig sein.

Gruß

29.06.2010, 22:07

gonnabphd

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Schon die erste Aussage ist für kompakte Intervalle falsch ist.

Sind c,d zwei Punkte, $\begin{eqnarray*} f(a) < c < d < f(b) \end{eqnarray*}$ , dann definiere $\begin{eqnarray*} \epsilon := d-c \end{eqnarray*}$ .

Nun beachte: zu jedem Punkt x, für welchen $\begin{eqnarray*} f(x)=c \end{eqnarray*}$ gilt, gibt es eine $\begin{eqnarray*} \delta-\text{Umgebung U} \end{eqnarray*}$ (*** hier ist Kompaktheit entscheidend, denn man findet ein besonders "schönes" Delta!), so dass für alle $\begin{eqnarray*} y\in U \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} |f(x) - f(y)|<\epsilon \quad \Rightarrow \quad |d-f(y)|\geq |d - f(x)|-|f(x) - f(y)| > \epsilon - \epsilon = 0 \end{eqnarray*}$

also insbesondere $\begin{eqnarray*} f(y) \neq d \end{eqnarray*}$ .

Nun beachte noch ***.

29.06.2010, 22:28

ChristianII

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Hallo,

danke für die Inspiration, aber Dein Weg leuchtet mir bisher nicht ein.

Nachvollziehbar für mich ist, dass es eine solche Umgebung U gibt, in der für alle y-Werte gilt:
$\begin{eqnarray*} f(y) \neq d \end{eqnarray*}$

Aber außerhalb dieser Umgebung könnte es doch wiederum unendlich viele x-Werte geben mit f(x) = d bzw. fällt mir keine Begründung ein, warum dies nicht so sein sollte.

Gruß

29.06.2010, 22:44

gonnabphd

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Also mal vorab, mit dem "schönen" Delta meinte ich gleichmässige Stetigkeit.

Zitat:

Aber außerhalb dieser Umgebung könnte es doch wiederum unendlich viele x-Werte geben mit f(x) = d bzw. fällt mir keine Begründung ein, warum dies nicht so sein sollte.

Da kommt die Kompaktheit ins Spiel. Wenn du gleichmässige Stetigkeit ausnutzt, kannst du ein einziges $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ für alle x nehmen.

Und in jeder Delta-Umgebung kann es keine zwei Punkte geben, so dass der eine den Wert c und der andere den Wert d annimmt (wie oben gezeigt).

Endlich viele solcher Umgebungen überdecken nun das Intervall, da es kompakt ist...

Hmm, ich merke gerade, dass ich einen Überlegungsfehler gemacht hab... geschockt

geschockt

In jeder der endlichen vielen Umgebungen kann der Wert (c oder d) ja mehr als endlich oft angenommen werden...

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29.06.2010, 23:11

gonnabphd

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Uiuiui, schwere Aufgabe... Freude

Freude

Also der Aufgabenstellung kann man ja eigentlich mehr oder weniger entnehmen, dass es zu 1) eine Funktion geben müsste.

29.06.2010, 23:20

ChristianII

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Hallo,

ja, das sehe ich auch so.

Es ist aber nicht unbedingt davon auszugehen, dass es bereits den ersten Fall geben muss.

Gruß

30.06.2010, 00:55

gonnabphd

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Sooo... Ich hätte einen Vorschlag zur Konstruktion einer solchen Funktion.

Ich behaupte:

Zitat:

Zu jeder linearen Funktion $\begin{eqnarray*} f: [x_0, x_1] \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x) = ax + b \end{eqnarray*}$ und jedem natürlichen n, gibt es eine stetige,
stückweise lineare Funktion (Zickzack-Funktion!) $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} ||f-g||_\infty \leq \frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$ .

Dieses g erfüllt zusätzlich, dass jeder Punkt im Bild von f mindestens zwei mal von g getroffen wird.

Der Beweis ist formal recht mühsam, aber anschaulich klar: Dazu unterteilt man das Intervall genügend fein und bastelt sich auf dieser Partition eine Zickzackfunktion.

Genauer: man macht eine Partition $\begin{eqnarray*} \{x_0 = y_0, y_1, ... , y_{3^m} = x_1\} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} [x_0, x_1] \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} |y_i - y_{i-1}|=3^{-m} \end{eqnarray*}$

für ein genügend grosses natürliches m) und bastelt sich die Funktion g so, dass

$\begin{eqnarray*} g(y_0) = f(y_0), \quad g(y_1) = f(y_3), \quad g(y_2) = f(y_0) \quad g(y_3) = f(y_3) , \quad \ldots \end{eqnarray*}$

Wobei man $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ jeweils zwischen $\begin{eqnarray*} g(y_i), g(y_{i+1}) \end{eqnarray*}$ linear fortsetzt.

(am besten zeichnest du dir das kurz auf ein Blatt Papier...)

Damit wird also schonmal jeder Punkt mindestens zwei mal getroffen.

Für den maximalen Abstand gilt andererseits nach dieser Konstruktion:

$\begin{eqnarray*} ||g(x)-f(x)||_{[x_0, x_1]} = ||g(x) - (ax+b)||_{[x_0, x_1]} \leq ||g(x) - b||_{[y_0, y_3]} \leq 3^3a3^{-m/3} \end{eqnarray*}$

und damit $\begin{eqnarray*} ||g-f||<\frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$ für genügend grosses m.

Daraus folgt nun die Antwort auf deine erste Fragestellung:

Wir können damit eine gleichmässig konvergente Folge stetiger stückweise linearer Funktionen konstruieren, welche jeden Punkt abzählbar unendlich oft trifft.

Wir definieren

$\begin{eqnarray*} f_1: [0,1]\rightarrow \mathbb{R}, \quad f_1(x) := x \end{eqnarray*}$

und konstruieren zu gegebenem $\begin{eqnarray*} f_n: [0,1]\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} f_{n+1}: [0,1]\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} ||f_n - f_{n+1}||<\frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$ .

Damit ist $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ eine Cauchyfolge im Banachraum $\begin{eqnarray*} (C[0,1], || \cdot ||_\infty) \end{eqnarray*}$ der stetigen Funktionen auf dem Einheitsintervall und deshalb existiert

$\begin{eqnarray*} f(x) := \lim_{n \to \infty} f_n(x) \end{eqnarray*}$

und f ist wiederum stetig.

Da im n-ten Schritt nach Konstruktion jeder beliebige Wert mindestens $\begin{eqnarray*} 2^{n-1} \end{eqnarray*}$ mal getroffen wird, trifft f jeden Wert unendlich oft.

Wink

Wink

30.06.2010, 13:15

Gastmathematiker

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Man kann Teil a) und b) direkt zusammen erledigen, such mal unter dem Stichwort Peano-Kurve.

Edit: Ein erster Link, der englische Teil ist aber besser:
http://de.wikipedia.org/wiki/Peano-Kurve

30.06.2010, 13:41

Gastmathematiker

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Zitat:

Original von gonnabphd
Da im n-ten Schritt nach Konstruktion jeder beliebige Wert mindestens $\begin{eqnarray*} 2^{n-1} \end{eqnarray*}$ mal getroffen wird, trifft f jeden Wert unendlich oft.

Wink

Wink

Achtung, das ist keine Eigenschaft, die auf die Grenzfunktion übergeht.

Nehme dir die Funktion $\begin{eqnarray*} f_n(x)=\begin{cases}x-x\cdot\sin(2\pi\cdot 2^n\cdot nx) & x\in[0,\frac{1}{n}]\\ x & sonst\end{cases} \end{eqnarray*}$

Diese soll auf [0,1] definiert sein und ist dort auch stetig.

Jede dieser Funktionen ist stetig und der Wert 0 wird 2^n mal angenommen. Trotzdem konvergiert diese Folge gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ , der den Wert 0 nur einmal annimmt.

30.06.2010, 19:55

Gastmathematiker

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RE: Zwischenwerteigenschaft zutreffend für unendlich viele Werte?
Mal aus Interresse, in welcher Veranstaltung wurde diese Frage gestellt, das hört sich nicht nach Ana1 an.

30.06.2010, 20:16

ChristianII

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Hallo,

die Definition der Peano-Kurve habe ich so verstanden, dass der Wertebereich stets mehrdimensional, also höher als eindimensional ist ?
Bei dem Problem muss aber der Wertebereich eindimensional sein ... .

Dieses Problem wurde in keiner Veranstaltung gestelllt; ich bin darauf beim Versuch einer Beweisführung gestoßen.

Gruß

30.06.2010, 20:21

Gastmathematiker

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Zitat:

Original von ChristianII
Hallo,

die Definition der Peano-Kurve habe ich so verstanden, dass der Wertebereich stets mehrdimensional, also höher als eindimensional ist ?
Bei dem Problem muss aber der Wertebereich eindimensional sein ... .

Dieses Problem wurde in keiner Veranstaltung gestelllt; ich bin darauf beim Versuch einer Beweisführung gestoßen.

Gruß

Was wolltest du denn beweisen?

Zum Problem selber. Wenn man die Peano-Kurve hat (was schon kompliziert ist), dann ist das Problem trivial. Ist p die Peano Kurve und $\begin{eqnarray*} f(x,y)=x \end{eqnarray*}$ , so ist g definiert durch g(x)=f(p(x)) eine Abbildung, die jeden Wert aus [0,1] überabzählbar oft annimmt und stetig ist als Komposition zweier stetiger Funktionen.

30.06.2010, 20:53

gonnabphd

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Zitat:

Nehme dir die Funktion $\begin{eqnarray*} f_n(x)=\begin{cases}x-x\cdot\sin(2\pi\cdot 2^n\cdot nx) & x\in[0,\frac{1}{n}]\\ x & sonst\end{cases} \end{eqnarray*}$

Diese soll auf [0,1] definiert sein und ist dort auch stetig.

Jede dieser Funktionen ist stetig und der Wert 0 wird 2^n mal angenommen. Trotzdem konvergiert diese Folge gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ , der den Wert 0 nur einmal annimmt.

Definiere die Folge $\begin{eqnarray*} x_n := \frac{1}{n2^{n+1}} \end{eqnarray*}$ , dann ist

$\begin{eqnarray*} |f_n(x_n) - x| = |sin(\frac{\pi}{2})| = 1, \quad \forall n \end{eqnarray*}$

Also ist die Folge nicht gleichmässig konvergent.

Zitat:

Achtung, das ist keine Eigenschaft, die auf die Grenzfunktion übergeht.

Ich sehe nicht ganz, wieso das so sein sollte. verwirrt

verwirrt

30.06.2010, 20:58

Gastmathematiker

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Zitat:

Original von gonnabphd

Definiere die Folge $\begin{eqnarray*} x_n := \frac{1}{n2^{n+1}} \end{eqnarray*}$ , dann ist

$\begin{eqnarray*} |f_n(x_n) - x| = |sin(\frac{\pi}{2})| = 1, \quad \forall n \end{eqnarray*}$

Also ist die Folge nicht gleichmässig konvergent.

Nein, da hast du dich verrechnet, es ist

$\begin{eqnarray*} |f_n(x_n) - x| = |\frac{1}{n2^{n+1}}-\frac{1}{n2^{n+1}}sin(\frac{\pi}{2})-\frac{1}{n2^{n+1}}| =|\frac{1}{n2^{n+1}}|\overset{n\rightarrow\infty}{\rightarrow}0 \end{eqnarray*}$

30.06.2010, 21:16

ChristianII

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Hallo

danke euch beiden.

Auf das Problem bin ich gestoßen, als ich zeigen wollte, dass ein Zunahmepunkt immer auch ein Häufungspunkt ist.
Geschildert habe ich dies in meinem letzen Beitrag
"Zunahmepunkt ist immer Häufungspunkt"

Im Grund wäre es mir also recht gewesen, wenn es eine solche Funktion nicht geben würde (egoistisch gedacht).

Gruß

30.06.2010, 21:28

gonnabphd

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@ GastMathematiker: Ja, stimmt. Dann ist das natürlich ein sehr guter Einwand.

Mit der Peano-Kurve ist tatsächlich alles gesagt. Freude

Freude

Dennoch frage ich mich gerade, ob meine Grenzfunktion die Eigenschaft jeden Punkt unendlich oft zu treffen (nicht) hat, bzw. wie man zeigen könnte, ob.

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