Stationäre Verteilung - Was genau wurde hier gemacht?

29.06.2010, 19:26

Marina87

Stationäre Verteilung - Was genau wurde hier gemacht?

Meine Frage:
Hallo, ich sitze hier momentan an einer Aufgabe. Und versuche die Lösung zu verstehen, da ich sie vorstellen muss.

Es soll eine Auslastung eines Betriebsmittels modelliert durch eine Markov-Kette berechnet werden.

Die Übergangsmatrix der Zustände sieht wie folgt aus:
$\begin{eqnarray*} P =\begin{pmatrix} 0.15 & 0.5 & 0.35 \\ 0.15 & 0.5 & 0.35 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Nun wird folgendes gerechnet:
$\begin{eqnarray*} (P-E) = \begin{pmatrix} 0.15 & 0.5 & 0.35 \\ 0.15 & 0.5 & 0.35 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0.85 & 0.5 & 0.35 \\ 0.15 & -0.5 & 0.35 \\ 1 & 0 & -1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Matrix L bilden, indem die letzte Spalte von (P-E) mit 1en versehen
wird:
L =
\begin{pmatrix}
-0.85 & 0.5 & 1 \\
0.15 & -0.5 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
Nun wird die inverse zu L berechnet die wie folgt ausschaut:
$\begin{eqnarray*} L^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{-10}{27}& \frac{-10}{27} & \frac{20}{27} \\\\ \frac{17}{27} & \frac{-37}{27} & \frac{20}{27} \\\\ \frac{10}{27} & \frac{10}{27} & \frac{7}{27} \\\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Und nun kann einfach aus der letzten Zeile abgelesen werden, das sich das Betriebsmittel zu 10/27 =37 % in Zustand 1, zu 37% in Zustand 2 und zu ~26% in Zustand 3 befindet.

Kann mir jemand erklären was genau hier gemacht wurde?

Vielen Dank und lieben Gruß Marina

Meine Ideen:
keine idee unglücklich

29.06.2010, 19:29

marina878

Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor ich es vergesse.
Mir ist durchaus bewusst, worauf das ganze abzielen soll. Allerdings hätte ich es eher durch ein Gleichungssystem mit umstellen usw gelöst. Wobei ich auch auf dieselben Werte komme, aber ich verstehe einfach nicht was hier gemacht wird unglücklich

30.06.2010, 10:11

Marina871

Auf diesen Beitrag antworten »

keiner eine Idee ? =(

30.06.2010, 10:45

Auf diesen Beitrag antworten »

Die stationäre(n) Verteilung(en), genauer gesagt deren Wahrscheinlichkeitsvektor $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ ist Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray*} P^Ts = s \end{eqnarray*}$ , das ergibt umgestellt $\begin{eqnarray*} (P-E)^Ts=0 \end{eqnarray*}$ .

Zusätzlich muss noch die Summe der Vektorkomponenten von $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ gleich 1 sein, sonst wäre es ja keine Wahrscheinlichkeitsverteilung, das entspricht dem Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} (1,1,\ldots,1)\cdot s = 1 \end{eqnarray*}$ . (*)

Bei irreduziblen Markovketten mit endlichem Zustandsraum ( $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Zustände) ist nun $\begin{eqnarray*} \operatorname{rang}(P-E) = n-1 \end{eqnarray*}$ , d.h. eine (hier sogar beliebige) Zeile des homogenen Gleichungssystemes $\begin{eqnarray*} (P-E)^Ts=0 \end{eqnarray*}$ ist redundant und kann weggelassen werden. Anstelle dieser Zeile von $\begin{eqnarray*} (P-E)^T \end{eqnarray*}$ - in deinem Fall die letzte - wird nun eine Einserzeile eingefügt, um die og. Normierungsbedingung (*) zu erfüllen. Das Gleichungssystem lautet nunmehr mit dem von dir so zurechtgebasteltem $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} L^Ts = e_n \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} e_n = e_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ den "letzten" Koordinateneinheitsvektor darstellen soll.

Als Zeilenvektoren geschrieben (d.h alles transponiert) heißt das $\begin{eqnarray*} s^TL = e_n^T \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} s^T = e_n^TL^{-1} \end{eqnarray*}$ , und das ist nichts weiter als die letzte Zeile von $\begin{eqnarray*} L^{-1} \end{eqnarray*}$ .

30.06.2010, 10:47

Korolew

Auf diesen Beitrag antworten »

das Gleichungssystem ist
p * (P - E) = 0

p ist p0, p1, p2
P deine Matrix

Wenn du das Gleichungssystem so aufstellst, wirst du erkennen, dass Gleichung unnötig ist.
Stattdessen gilt:
p0 + p1 + p2 = 1

Das ist das ersetzen der letzen Spalte durch einser.
den Vektor p errechnest du dann mittels invertieren.

€: zu langsam -.-

30.06.2010, 10:50

Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal bezugnehmend auf

Zitat:

Original von marina878
Allerdings hätte ich es eher durch ein Gleichungssystem mit umstellen usw gelöst.

Was vom Rechenaufwand auch durchaus vorzuziehen ist. Die gesamte inverse Matrix $\begin{eqnarray*} L^{-1} \end{eqnarray*}$ zu berechnen ist unnötiger Aufwand.

Neue Frage »

Antworten »

Stationäre Verteilung - Was genau wurde hier gemacht?

Verwandte Themen