lipschitzstetigkeit

03.11.2006, 16:31

hmer

lipschitzstetigkeit

hallo,

f und g sind beide lipschitzstetig auf interval [a,b] -- ist auch deren produkt lipschitzstetig?

ich habe wie folgt angesetzt:

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{f(x)g(x) - f(y)g(y)}{x-y} \mid \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \mid \frac{g(y)(f(x)-f(y)) + f(x)(g(y)-g(x))}{x-y} \mid \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <= \mid \frac{g(y)(f(x)-f(y))}{x-y}\mid + \mid \frac {f(x)(g(y)-g(x))}{x-y} \mid = \mid g(y) \mid Lf + \mid f(x) \mid Lg \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich ja irgendwie noch g(y) und f(x) abschätzen, kann ich da einfach eine Annahme machen, dass dieser Wert etwa das Maximum der funktion auf dem Intervall ist -- oder würde das den Lipschitz zerschießen?

Gruß
hmer

03.11.2006, 16:40

Abakus

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RE: lipschitzstetigkeit

Zitat:

Original von hmer
Jetzt muss ich ja irgendwie noch g(y) und f(x) abschätzen, kann ich da einfach eine Annahme machen, dass dieser Wert etwa das Maximum der funktion auf dem Intervall ist -- oder würde das den Lipschitz zerschießen?

Stetige Funktionen nehmen auf kompakten Intervalle ihre Extrema an. Also kannst du so schließen.

Ansonsten hast du g(x) und g(y) vertauscht bei deiner Abschätzung.

Grüße Abakus smile

05.11.2006, 11:34

hmer

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RE: lipschitzstetigkeit
hallo.
hmm...ich hoffe mal ich darf so argumentieren. formell haben wir bisher nur den begriff stetigkeit im sinne von lipschitz-stetig eingeführt.

dazu aber noch nicht den satz behandelt, das funktionen auf beschränkten und abgeschlossenen intervallen ebenfalls beschränkt ist, und dass sie ihre minima und maxima annehmen.

hmm ok... vielen dank für die hilfe!
hmer

07.11.2006, 20:48

hmer

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hallo,

jetzt hab ich doch noch ne frage: kann ich nicht eifnach sagen, dass da [a,b] als intervall beschränkt ist, wegen der stetigkeit von f und g auch diese auch beschränkt sind.

d.h. dass es bestimmt ein supremum c für f gibt, wobei gilt das für alle x in [a,b]: f(x) < c und das gleiche für g annehmen

die argumentation mit den supremas würde mir wohl leichter fallen, da wir diesen einen satz glaube ich, noch nicht behandelt haben. in den unterlagen war dazu auf jeden fall nix!

gruß hmer

08.11.2006, 02:00

Abakus

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Zitat:

Original von hmer
jetzt hab ich doch noch ne frage: kann ich nicht eifnach sagen, dass da [a,b] als intervall beschränkt ist, wegen der stetigkeit von f und g auch diese auch beschränkt sind.

Das Argument reicht nicht. Betrachte etwa [a, b[ als auch beschränktes Intervall. Jetzt gibt es viele stetige Funktionen, die bei b zB einen Pol haben.

Du brauchst also schon, dass das Intervall auch abgeschlossen ist.

Grüße Abakus smile

08.11.2006, 11:16

hmer

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hallo.
ja das intervall ist geschlossen, d.h. für alle x: a <= x <= b! in dem fall kann ich also mit suprema's argumentieren...oder?

08.11.2006, 17:11

Mathespezialschüler

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Auch das reicht aber noch nicht. Warum muss es denn ein Supremum geben? Du hast noch kein bisschen mit der Stetigkeit argumentiert ...
Ich kann mir eigentlich nicht vorstellen, dass ihr die Beschränktheit noch nicht gezeigt habt und dann eine solche Aufgabe bekommt ...

Gruß MSS

19.01.2007, 19:05

Verzweifelte Maus

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Hiiiiiiiiiiiillllllllllllllllllllllllllllllllllllffffffffffffffffffffffe!
Ich weiß, dass mag wohl dreist klingen, aber ich sitzte momentan an der selben aufgabe und komm auch mit euren hilfen nicht weiter traurig

.ich hoffe auf hilfe, falls jemand diese nachricht lesen sollte und die lösung zufälliger weise hätte,, wär ich serh dankbar für diese.ich muss die lösung bis montag den 22.01.07 abgeben und es handelt sich um die letzten punkte die ich noch bekommen kann vor meiner anaklausur...Bitte bitte um hilfe..... Gott

19.01.2007, 21:52

Mathespezialschüler

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Fünf Buchstaben reichen für das Wort "Hilfe" übrigens auch aus.
Was verstehst du denn an dem Ansatz von hmer erstmal nicht? Danach muss man ja eigentlich nur noch die Beschränktheit nutzen.

Gruß MSS

20.01.2007, 15:16

Verzweifelte Maus

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Habs irgendwie versucht, aber krieg nur Mist raus.Trotzdem danke für dein Hilfeangebot.sorry für die dreistigkeit....

15.12.2009, 22:45

Clem

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RE: lipschitzstetigkeit
Tut mir recht Leid, aber der Ausdruck, der neben dem ersten IstGleich-Zeichen steht ist falsch; du hast hierbei nicht 0 dazugefügt, sowie du es solltest. Ausmultipliziert ergibt sich hier $\begin{eqnarray*} g(y)f(x)-g(y)f(y)+f(x)g(y)-f(x)g(x) \neq f(x)g(x)-f(y)g(y) \end{eqnarray*}$ Und außerdem scheint bei deinem letzten Schritt ein Fehler aufgetreten zu sein, denn du hast hier ja in die Lipschitzdefinition eingesetzt und diese besagt ja eine Kleiner- Gleich Relation und keine reine Gleichheitsrelation, also muss das $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ durch ein $\begin{eqnarray*} <= \end{eqnarray*}$ ausgetauscht werden im letzten Schritt, wo du das $\begin{eqnarray*} g(y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ herausgehooben hast, doch ist dies wegen deinem unabsichtlichen Fehler nach dem ersten Istgleichzeichen sowieso (leider) falsch, wenn ich mich nicht völlig irre.

15.12.2009, 23:25

Cugu

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Beides keine tragischen Fehler. Es steht nur in der zweiten Zeile fälschlicherweise $\begin{eqnarray*} f(x)-f(y) \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} f(y)-f(x) \end{eqnarray*}$ .
In der dritten Zeile ist das wieder egal. Wenn man das vertauscht, ist das zwar immer noch nicht besonders geschickt, aber richtig.

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{f(x)g(x) - f(y)g(y)}{x-y} \right|&=&\left| \frac{f(y)g(y)-f(x)g(x)}{x-y} \right| <br /> &=& \left| \frac{g(y)f(y)-g(y)f(x) + f(x)g(y)-f(x)g(x)}{x-y} \right|<br /> &=& \left| \frac{g(y)(f(y)-f(x)) + f(x)(g(y)-g(x))}{x-y} \right| (*)<br /> &\leq& \left| \frac{g(y)(f(x)-f(y))}{x-y}\right| + \left| \frac {f(x)(g(y)-g(x))}{x-y} \right|<br /> &\leq& \left(\left| g(y) \right| + \left| f(x) \right|\right)L, \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ das Maximum der beiden Lipschitz-Konstanten ist.

Ich hab nur bei (*) die Terme vertauscht und ein paar Zwischenschritte gemacht.

Ohne irgendwelche Sätze über angenommene Suprema etc., kann man f (und g) wegen der Lipschitz-Eigenschaft abschätzen.
Z.B. ist
$\begin{eqnarray*} |g(y)|\leq |g(a)|+|b-a|L. \end{eqnarray*}$

Dies gilt da wegen g Lipschitz
$\begin{eqnarray*} g(y)-g(a)\leq |b-a|L \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} -g(y)+g(a)\leq |b-a|L \end{eqnarray*}$
sind.

Man beachte, dass die Beschränkheit des Intervalls genügen würde. Man müsste gegebenenfalls einen anderen Punkt zum Vergleich wählen. Kompaktheit ist nicht nötig!

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