Basen für Polynomringe

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Reneee Auf diesen Beitrag antworten »
Basen für Polynomringe
Nabend ,

ich habe dieses mal statt einer Aufgabe eine " einfache " generelle Frage.

Wie sieht die Basis für einen Polynomring aus? Wie komme ich darauf, diese zu bestimmen?

Seit Anfang des Semesters habe ich nun schon Probleme mit Polynomringen. Ich will diese Probleme nun endlich mal in Griff bekommen. Das kann doch garnicht so schwer sein. smile

Ich habe also den Vektorraum



Ich weiß, dass man hier normalerweise Hilfe zur Selbsthilfe gibt, aber könnte man mir einmal die Basis einfach vorgeben?Schließlich bin ich schon so oft jetzt daran gescheitert, für so etwas eine Basis zu finden. verwirrt

Außerdem : Wie kann ich dann im Weiteren eine Basis eines Polynomringes bestimmen, in welcher der Grad zum Beispiel höchstens 3 oder sein soll?

Danke für Eure Antworten !
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst einmal:
Die Schreibweise meint normalerweise nicht den Polynomring, sondern den Quotientenkörper davon. Den Polynomring bezeichnet man meistens mit .

Angenommen du willst eine Basis für die Polynome mit höchstens Grad 3.
Dann versuch es mal mit .
Zeige also, dass diese Polynome [=Vektoren in diesem Vektorraum] ein Erzeugendensystem sind und dass sie linear unabhängig sind.

Das soll natürlich nicht bedeuten, dass dies die einzige Basis ist. Es gibt viele Basen, aber ich behaupte einfach mal dass dies die einfachste ist.
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Ok irgendwie ist mir da nun ein Licht mit aufgegangen.

Das mit der Schreibweise ist mir klar, hab wohl ausversehen falsche Klammern gemacht. ^^

Das heißt also, man zähl sozusagen so viele auf , wie man Elemente des Polynomringes hat oder braucht?

Und dann wäre vielleicht auch sowas wie { } eine Basis für einen Polynomring mit deg=3 ?
Denn damit könnte man natürlich mit jeweils entsprechenden Leitkoeffizienten jedes Polynom des Polynomringes darstellen.
Lineare Abhängigkeit ist auch kein Problem.

Wie sieht es dann mit dem normalen Polynomring aus?

Ist seine Basis einfach { } und hat dann einfach kein Ende? Vom Polynomring ist ja dim , also besitzt der Polynomring ja keine abzählbare Basis.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Reneee
Das heißt also, man zähl sozusagen so viele auf , wie man Elemente des Polynomringes hat oder braucht?


Der Polynomring als solcher ist unendlichdimensional, denn er enthält alle Polynome von jedem Grad.
Willst du aber bloss Polynome bis zu einem gewissen Grad, dann ist dies ein endlichdimensionaler Unterraum.

Zitat:
Original von Reneee
Und dann wäre vielleicht auch sowas wie { } eine Basis für einen Polynomring mit deg=3 ?
Denn damit könnte man natürlich mit jeweils entsprechenden Leitkoeffizienten jedes Polynom des Polynomringes darstellen.
Lineare Abhängigkeit ist auch kein Problem.


Wenn du das nachgerechnet hast dann glaube ich es dir, dass man jedes Polynom darstellen kann Augenzwinkern .
Du brauchst aber die lineare unabhängigkeit, damit es eine Basis sein kann.


Zitat:
Original von Reneee
Wie sieht es dann mit dem normalen Polynomring aus?
Ist seine Basis einfach { } und hat dann einfach kein Ende? Vom Polynomring ist ja dim , also besitzt der Polynomring ja keine abzählbare Basis.


Wie oben gesagt ist er unendlichdimensional.
Aber die Basis ist trotzdem abzählbar, denn die Menge ist sicher abzählbar.
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Also so weit ich weiß gilt ja

)

Wie kann der Polynomring dann eine abzählbare Basis besitzen?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Abzählbarkeit bedeutet nicht, dass es endlich ist. IN ist eine abzählbar unendliche Menge.

air
 
 
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