allgemeine Ausdruck für die Varianz

03.11.2006, 16:42

Radzo

allgemeine Ausdruck für die Varianz

Hallo an Alle

Ich hab ein Problem mit dem allgemeinen Ausdruck für die Varianz.

Wir haben im Unterricht das gleiche für den Erwartungswert gemacht.

Aufgaben: 4 Schlüssel an einem Schlüsselbung, eine Tür
Eine Person versucht die Tür zu öffnen, weiß aber nicht welcher Schlüssel
passt.
Wie groß ist E(X), wenn die Person nacheinander die Schlüssel ausprobiert?
Wie groß sind V(X) und die Standartabweichung?

$\begin{eqnarray*} E(X) = \frac{1}{4} * (1+2+3+4)= 2,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V(X)= \frac{9}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{9}{16} = 1,25 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow Standartabweichung = 1,118 \end{eqnarray*}$

Jetzt kommt der eigentliche Transfer

Nun sollen es 50 Schlüssel sein

nach einem Herr Gauss glaube ich, um nicht alle Zahlen zusammenrechen zu
müssen, habe ich eine Formel genommen die dieses Prinzip von Gauss
wiederspiegelt.
n= 50
Demnach sind alle Zahlen von 1 bis 50 addiert $\begin{eqnarray*} = \frac{1}{n} * (\frac{n}{2} * (n+1)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow E(X)= \frac{1}{50} * (1+2+3+4+...50) = \frac{1}{n} * (\frac{n}{2} * (n+1)) = ( \frac{n+1}{2}) \end{eqnarray*}$

das ganze ist ja auch nicht so schwer

nur wie mache ich das gleiche für die Varianz?

mein Ansatz ist noch nicht sehr weit aber ich komm einfach nicht weiter

$\begin{eqnarray*} V(X)= P(X=x_i) * (X - E(X))^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{1}{n} * (X - (\frac{n+1}{2}))^2 \end{eqnarray*}$

....so ab jetzt komm ich nicht weiter. Wär nett wenn mir jemand helfen
könnte

03.11.2006, 17:05

Marvin42

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schreib die Varinz als:

$\begin{eqnarray*} Var(X)= E(X^2)-E(X)^2 \end{eqnarray*}$

den hinteren Teil hast praktisch schon. Für den ersten Teil:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n{x_i^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$

03.11.2006, 17:16

Radzo

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ok danke schon mal
nur wie komm ich von hier

Zitat:

$\begin{eqnarray*} Var(X)= E(X^2)-E(X)^2 \end{eqnarray*}$

auf dieses Endergebnis

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n{x_i^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$

03.11.2006, 17:34

Marvin42

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das war ja nur die Hilfe um
$\begin{eqnarray*} E(X^2) \end{eqnarray*}$ zu berechnen.

03.11.2006, 17:47

Radzo

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achs ok nur

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n{x_i^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$

ist mir total unbekannt ich versteh die umformung nicht

03.11.2006, 18:24

Marvin42

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das ist dasselbe wie $\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ halt nur für Quadrate

03.11.2006, 18:44

Radzo

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ok vielen vielen dank ich komm durch eingene umformungen aber immer noch nicht drauf ich versuch als
$\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

irgendwie zu quadrieren aber auf

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n{x_i^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$

komm ich nicht! aber vielen dank trotzdem

03.11.2006, 18:56

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Das ist die (ziemlich bekannte) Summenformel für Quadrate

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n ~i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$

die kann man z.B. über Induktion beweisen. Aus $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n ~i \end{eqnarray*}$ kann man die nicht folgern, das ist was anderes!

04.11.2006, 00:00

Radzo

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achsoo ok die hatte ich noch nicht trotzdem vielen dank an alle!!!

16.11.2006, 14:24

Radzo

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Hi Leute hab mich nochmal dran gesetzt ich will dass unbedingt schaffen

da ich ja die Induktion noch nicht hatte und somit die Summenformel

für Quardate nicht beweisen kann. Hat mir mein Lehrer empfohlen

erstmal zu versuchen es von hier

$\begin{eqnarray*} V(x) = P(X=\mu) *( X - E(X))^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{n} * ( 1- \frac{n*(n+1)}{2})^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{n} * [ (1 - E(X))^2 + (2 - E(X))^2 + ..... (n - E(X))^2 ] \Lleftarrow \end{eqnarray*}$

auf das hier zu folgern, oder wo darin die Verbindung steht!!!
also was verbindet beide Terme (mit dem Pfeilen gekennzeichnet) miteinander?

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k^2 = \frac{n(n+1)*(2n+1)}{6} \Lleftarrow \end{eqnarray*}$

Ich versteh den Zusammenhang nicht! Ich weis das $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k^2 \end{eqnarray*}$ die Formel für Quadrate ist aber was verbindet beide Formeln?

16.11.2006, 16:20

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Zitat:

Original von Radzo

$\begin{eqnarray*} V(x) = P(X=\mu) *( X - E(X))^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{n} * ( 1- \frac{n*(n+1)}{2})^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{n} * [ (1 - E(X))^2 + (2 - E(X))^2 + ..... (n - E(X))^2 ] \Lleftarrow \end{eqnarray*}$

Soviel Toleranz kann man gar nicht haben, das so unkommentiert stehen zu lassen. Diese Gleichung strotzt nur so von inhaltlichen Fehlern, wenn du diesen Stil weiter pflegst, wird er dir mal das Genick brechen.

Also: Die Varianz deiner Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ kann man alternativ zur obigen Variante $\begin{eqnarray*} V(X)=E(X^2)-(E(X))^2 \end{eqnarray*}$ auch gemäß

$\begin{eqnarray*} V(X) &=& E(X-E(X))^2 = \sum_{i=1}^n ~ P(X=x_i)\cdot (x_i-E(X))^2\\ &=& \sum_{i=1}^n ~ P(X=i)\cdot (i-E(X))^2 = \sum_{i=1}^n ~ \frac{1}{n} \cdot \left( i- \frac{n+1}{2} \right)^2 \end{eqnarray*}$

Wieso das jetzt allerdings günstiger als die obige Variante sein soll, musst du mir mal verraten: Die Summe über die Quadrate wirst du auf die Weise nicht los!

16.11.2006, 16:45

Radzo

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Ok danke trotzdem ich werd mich nochmal dran setzten um auch die
inhaltlihen Fehler weg zu lassen.

Es ist nicht günstiger, es geht nur darum, dass wir wie ich oben in der Aufgabe
beschrieben hab, um eine allgemeine Formel für den Extremwert zu
bekommen, mit der Variable n gerechnet haben. Jetzt sollte ich das gleiche
für die Varianz machen und wollte das auch mit der Variable n lösen.
Mein Lehrer hat mir jetzt den Tipp gegeben, dass ich den kopletten
Rechenweg noch nicht kann und ich soll mich erstmal nur darauf konzentrieren
welcher zusammenhang zwischen der Formel für die Summer der Quadrate und
dieser hier besteht

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n ~ P(X=x_i)\cdot (x_i-E(X))^2 = \sum_{i=1}^n ~ P(X=i)\cdot (i-E(X))^2 \end{eqnarray*}$

trotzdem danke
gruß radzo

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