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30.06.2010, 12:56

Bierdeckel

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Tag!

Ich hab mich in den letzen Tagen etwas intensiver mit folgendem Beispiel beschäftigt, bin aber überhaupt nicht weiter gekommen.

Einer Figur, die wie ein "L" aussieht soll dermaßen in 2 gleich große Teile geschnitten werden, dass die Schnittkannte (muss keine Gerade sein) die kürzest mögliche Länge hat.

Hat jemand eine Idee wie man so etwas angehen könnte? Weiß jemand den Themenbereich der Mathematik die solche Probleme umfassen?
Stehe echt am Schlauch.

Danke schon mal für Tips.

LG

30.06.2010, 13:29

Mimm

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L-Figur
Hallo,

weiß man denn die Maße dieser L-Figur? Man könnte ja dann zumindest die Gesamtfläche berechnen, um so dann zu den Teilflächen gelangen zu können.

Wenn es um die kürzeste Strecke geht, wird oft mit der ersten Ableitung was berechnet (Stichwort Minimum, Maximum), wobei ich ja nicht glaube, dass das hier tatsächlich der Fall ist.

Gruß,
Mimm

30.06.2010, 14:09

mYthos

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Könnte durchaus auf eine Extremwertberechnung hinauslaufen.
Wenn von einer Schnittkante (bitte richtig schreiben) die Rede ist, muss sie jedoch eine Gerade sein. Von Kanten spricht man allerdings nur bei Körpern. In der Ebene heissen sie "Schnittgerade" oder allg. "Schnittkurve".

mY+

30.06.2010, 14:20

Bierdeckel

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Natürlich hat man die Abmessungen des nicht Symetrischen L. Ich möchte aber eher eine algemeine Lösung haben.

Gesucht ist also die eine Funktion (oder gibt es mehrere Lösungen) welche die kürzeste Strecke definiert die das L in 2 gleich große Teile teilt.

Edith: gemeint ist natürlich die Schnittkurve. Danke mY

01.07.2010, 18:44

Bierdeckel

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Ich poste mal was ich bis jetzt habe.

[attach]15374[/attach]

eine Skizze dazu.

Prinzipiell gibt es vier verschiedende Möglichkeiten wie f(x) liegen kann.

So wie im Bild.
Triviallösung senkrecht von b zur x-Achse.
Gespiegelt wie im Bild (x1 würde hier zu y1)
Triviallösung waagrecht von d zur y-Achse.

Die Lösungen hängen von den Proportionen der Figur ab. Ich hab mich bis jetzt nur mit der gezeichneten beschäftigt. Ich hab das ganze als Extremwertaufgabe formuliert. Da die beiden Teile der Figur gleich groß sein sollen, gilt folgendende Nebenbedingung: $\begin{eqnarray*} a \cdot b + a\cdot c - \int_ x ^a \! f(x) \, dx = b\cdot c + \int_ x ^a \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$ (die untere Grenze des Integrals ist natürlich x1; ich hab das mit dem Formeleditor nicht hinbekommen)
Meine Hauptbedingung ist natürlich die Bogenlänge.
$\begin{eqnarray*} \int_x^a \! \sqrt{1+f'(x)} \, dx \end{eqnarray*}$

Ich müßte jetzt die Nebenbedingung in die Hauptbedingung einsetzen; ableiten und Null setzen. Genau hier steh ich.

Ich kann die Nebenbedingung zwar umformen um das Integral auf einer Seite zu haben,
$\begin{eqnarray*} (a\cdot d + a\cdot c - b\cdot c)/2 = \int_x^a \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$
nur bringt mich das auch nicht weiter.

05.07.2010, 22:37

Bierdeckel

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Ich bin jetzt mal von einer anderen Seite ran.

Ich hab versucht erstmal die optimale lineare Lösung mit

$\begin{eqnarray*} f(x) = v*x+w \end{eqnarray*}$ zu finden. Auch wenn es hier nur eine Lösung gibt wollte ich erstmal das grundlegende Vorgehen anhand des einfachsten Falles zu testen.

Ich hab 2 Punkte der Funktion.
$\begin{eqnarray*} f(a) = c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x1) = 0 \end{eqnarray*}$
Mit der sich die Funktion konstruieren lässt.

Das ist eigentlich kein Problem gewesen, allerdings hat man hierbei nichts zu optimieren.
Dann hab ich Versucht die beste quadratische Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = ux^2+vx+w \end{eqnarray*}$

zu finden. Das ist bereits eine Frage der Optimierung.
Nur bin ich hierbei auf eine (wirklich monströse!) Gleichung vierten Grades gestoßen. Diese hat sich zwar dank Mathematika lösen lassen, auf höhere Polynome lässt sich hier aber nichts mehr Verallgemeinern. Zum einen aufgrund der enorm ansteigenden Komplexität und andererseits mangels Punkte der Funktion.

Any Hints?

23.07.2010, 19:26

Bierdeckel

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Dieses Beispiel lässt mich nicht kalt.

Immerhin weiß ich mitlerweile, dass mittels der Variationsrechnung auf eine Lösung zu kommen ist. (Hier z.B. wird ein ähnliches Beispiel gelöst.) Aus einer (un)endlichen Menge an Funktionen soll die kürzeste bestimmt werden.

Da ich aber mangels entsprechender Ausbildung die in den Artikeln verwendete Syntax nicht verstehe, hänge ich wieder.

Hat vl jemand ein leichter zu verstehendes Skript zu diesem Thema?
Oder einen anderen Hinweis?

24.07.2010, 01:54

Tarnfara

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Zitat:

Original von Bierdeckel
Hat vl jemand ein leichter zu verstehendes Skript zu diesem Thema?
Oder einen anderen Hinweis?

Ein Skript kann ich nicht liefern.
Ich muss sagen, dass ich deine Überlegungen nicht nachvollziehen kann, z.B. ist die Länge des Wegs gegeben durch:

$\begin{eqnarray*} \int_{x_o}^{x_2} \! \sqrt{1+ (f'(x))^2} \, dx \end{eqnarray*}$

Die Nebenbedingung würde ich anders formulieren:

$\begin{eqnarray*} \int_{x_0}^{x_2} \! f(x) \, dx + bc = ad - \int_{x_0}^a \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Wie auch immer, kritische Punkte für dein Variationsproblem liefert dir die Euler-Lagrangegleichung:

Ich bezeichne

$\begin{eqnarray*} L(f) := \int_{x_o}^{x_2} \! \sqrt{1+ (f'(x))^2} \, dx \end{eqnarray*}$

Dann ist eine notwendige Bedingung für ein Minimum des Funktionals:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial f} - \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial f'} = 0 \end{eqnarray*}$ .

Damit bekommst du dann eine schöne DGL, bei deren Lösen ich dir viel Erfolg wünsche, da ich davon keine Ahnung habe.

Ob es sich dann letztendlich auch um ein Minimum, also einen kürzesten Weg handelt, muss aber noch mit einer hinreichenden Bedingung geprüft werden.

[edit] Dies gilt allerdings auch nur unter der Bedingung, dass die Integralgrenzen fix sind. Ist imo doch nicht wirklich dein Problem ?

24.07.2010, 17:46

Bierdeckel

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Meine Schlampigkeit bringt mich noch irgendwann um. geschockt

Ich hab blöder weise in der Skizze die Seiten falsch beschriftet. /facepalm

Nach der obigen Skizze ist Richtig:
$\begin{eqnarray*} a \cdot d + a\cdot c - \int_ {x_1} ^a \! f(x) \, dx = b\cdot c + \int_ {x_1} ^a \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$
die hier. Was sich aber noch zu
$\begin{eqnarray*} a \cdot(d +c) - b\cdot c = \int_ {x_1} ^a \! f(x) \, dx + \int_ {x_1} ^a \! f(x) \, dx = 2 \cdot \int_ {x_1} ^a \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$
vereinfachen lässt.

In deiner Rechnung ist mir aber nicht klar wie du auf x0 bzw x2 kommst. verwirrt

Aus diesem PDF (Zeile 129) meine ich zu wissen, dass ich die von dir vorgebrachte doch recht komplexe Euler-Lagrange DGL durch
$\begin{eqnarray*} L(f,f') - f'(x)\frac{\partial L(f,f')}{\partial f'} = Const \end{eqnarray*}$ ersetzen kann. (Allerdings hab ich keine Ahnung wie und wiso man nach einer Funktion ableiten kann/soll.)

So was jetzt kommt ist Spekulation:
Ich hab jetzt für L eingesetzt.
$\begin{eqnarray*} \int_{x_1}^{a} \! \sqrt{1+ (f'(x))^2} \, dx - f'(x)\frac{\partial \int_{x_1}^{a} \! \sqrt{1+ (f'(x))^2} \, dx}{\partial f'}=Const \end{eqnarray*}$

Darf ich das? Ist es richtig? Bringt es irgendwas?^^
Ich brauch hier echt dringend Hilfe^^ Wink

LG aus Linz

24.07.2010, 18:30

Tarnfara

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Zitat:

Original von Bierdeckel
Meine Schlampigkeit bringt mich noch irgendwann um. geschockt

Ich hab blöder weise in der Skizze die Seiten falsch beschriftet. /facepalm

Ich bin auch nicht besser, ich habe das falsche L angegeben -.-

Also, nochmal von vorn: Allgemein sieht ein Variationsproblem so aus, wir möchten gerne wissen, für welches f das Funktional

$\begin{eqnarray*} G(f) := \int_a^b \! L(x, f'(x), f''(x)) \, dx \end{eqnarray*}$ stationär, also hier minimal wird.

Die Euler-Lagrangegleichung liefert uns dazu eine notwendige Bedingung, nämlich die von mir angegebene, die jetzt auch stimmt (Dabei taucht das Integral gar nicht mehr auf).

Daraus erhalten wir, wenn ich mich jetzt nicht vertan habe (füge dann für a und b "deine" Intervallgrenzen ein):

$\begin{eqnarray*} 0 = \frac{\partial \sqrt{1+ (f')^2}}{\partial f} - \frac{d}{dx}\frac{\partial \sqrt{1+ (f')^2}}{\partial f'} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 0 - \frac{d}{dx} \left( \frac{f'}{\sqrt{1+(f')^2}}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = - \frac{f'' \sqrt{1+(f')^2} - f' \left( \frac{f' f''}{\sqrt{1+(f')^2}} \right) }{1+(f')^2} \end{eqnarray*}$

Trotzdem bin ich der Ansicht, dass hier zuerst die Nebenbedingung eingebaut werden muss, da wir sonst allgemein anschauen, wann ein Weg minimal wird (da sollte dann eine Gerade herauskommen, was uns ja nicht weiterbringt).

Nach meinem (wie gesagt sehr bescheidenen Kenntnisstand) müsste man also

$\begin{eqnarray*} \int_{\alpha}^{\beta} \! \sqrt{1+(f'(x))^2} \, dx + \lambda \left( (a(d+c)-bc -2 \int_{\alpha}^{\beta} \! f(x) \, dx \right) \end{eqnarray*}$ betrachten. Das heißt, dass Funktional des Weges unter der Nebenbedingung ... = 0, wobei \lambda der Lagrangemultiplikator ist.

Wie du auf deine Grenzen kommst, ist mir nicht klar. Für mich sind a und b hier die Längen der Seiten oder nicht ?

Dein Weg geht aber nicht von einer Länge irgendwohin, sondern eben von einem Punkt x_0, der auf der unteren Kante deines Ls liegt zu einem Punkt x_1, der auf einer der oberen Kanten liegt. Also möglicherweise kann man das so machen, aber da ist mir nicht klar, wieso und warum.

Zitat:

In deiner Rechnung ist mir aber nicht klar wie du auf x0 bzw x2 kommst. verwirrt

siehe oben

Zitat:

$\begin{eqnarray*} L(f,f') - f'(x)\frac{\partial L(f,f')}{\partial f'} = Const \end{eqnarray*}$ ersetzen kann. (Allerdings hab ich keine Ahnung wie und wiso man nach einer Funktion ableiten kann/soll.)

Das ist sozusagen ein ganz normales Extremwertproblem. Nur, dass du keine Punkte/Vektoren, sondern Funktionen einsetzt, weil du ja nicht einen Punkt einer vorgegeben Funktion berechnest, sondern wissen willst für welche Funktion dein Integral minimal ist (also für welchen Weg).

Zitat:

Darf ich das? Ist es richtig? Bringt es irgendwas?^^
Ich brauch hier echt dringend Hilfe^^ Wink

LG aus Linz

Wie gesagt, unser Prof. hat da ganz rudimentär ausblicksmäßig noch was vorgestellt zum Ende des Semesters. Ich glaube, dass der Ansatz bis hierhin falsch ist, weil das Variationsproblem sich nach meinem Verständnis auf fixe Grenzen bezieht, dh. wir müssten schon wissen, wo man anfangen und aufhören soll zu schneiden und würde sich dann nur noch angucken, wie man dazwischen schneiden muss, damit der Weg so kurz wie möglich, aber die beiden Teile gleich groß werden.

Atm hast du aber keine fixen Punkte, wo du zu schneiden anfängst oder nicht ?

Grüße

[edit] Ich werde auch das Gefühl nicht los, dass wir hier mit Kanonen auf Spatzen schießen. Das geht bestimmt irgendwie unmittelbarer.

24.07.2010, 19:00

Bierdeckel

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Was die Integralgrenzen angeht.
Ich hab angenommen mein Ursprung liegt in der unteren linken Ecke der Figur. Dann gibt die Länge A an wo die Schnittkurve endet. (Parallelverschieben auf die X-Achse)

Und der Punkt x1 hab ich auf die X-Achse gelegt und ist (leider) von der Funktion abhängig. Er definiert aber den Beginn der Schnittkante.

Vielen Dank schon mal für diese Infos. Ich muss mir das jetzt mal durch den Kopf drücken smile

06.08.2010, 11:29

Huggy

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In der Hoffnung, dass die Sache für den Fragesteller noch aktuell ist:

In dem nicht-trivialen Parameterbereich sollte sich als kürzeste Teilungskurve ein Kreisbogen, also ein Teil einer Kreislinie, ergeben. Die Bestimmung des Radius und des Mittelpunktes dürfte nur numerisch möglich sein.

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