Einheiten in Ganzheitsring

30.06.2010, 17:06

Erstler

Einheiten in Ganzheitsring

Edit: Aus diesem Thread abgeteilt. Gruß, Reksilat.

Ich hätte da noch eine weitere Frage:

Es sei $\begin{eqnarray*} R=\mathbb Z[\sqrt{-5}]:=\{a+b\sqrt{-5}|a,b\in\mathbb Z\} \end{eqnarray*}$ . Zeige, dass $\begin{eqnarray*} R^*=\mathbb Z^*=\{-1;1\} \end{eqnarray*}$ . Ich hatte mir überlegt, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \subset R \end{eqnarray*}$ ist, bin mir da aber nicht sicher ob ich das überhaupt so sagen darf. Wäre damit die Einheitengruppe von R direkt schon die von Z?

30.06.2010, 17:34

jester.

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Dass die Einheitengruppe von R schon die von Z ist, kann man nicht folgern, ein Gegenbeispiel ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[i] \end{eqnarray*}$ .

Betrachte die Funktion $\begin{eqnarray*} N~:~\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]\to\mathbb{Z}_{\geq 0},~ a+\sqrt{-5}b\mapsto a^2+5b^2 \end{eqnarray*}$ und überlege dir, dass $\begin{eqnarray*} R^*=\{r\in R~|~N(r)=1\} \end{eqnarray*}$ .

Edit: Unsinn bereinigt.

30.06.2010, 17:44

Erstler

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Hmm, deinem Tipp kann ich nicht ganz folgen.

Die von dir angegebene Funktion N steht etwas vor der Aufgabe, dort sollte man zeigen dass diese multiplikativ ist (was auch nicht weiter schwer war). Wie komme ich aber an $\begin{eqnarray*} R^*=\{r\in R|N(r)=1\} \end{eqnarray*}$ ? Darf ich wegen der Abbildung folgern, dass $\begin{eqnarray*} N(r)\in\mathbb Z^*\Leftrightarrow r\in R^* \end{eqnarray*}$ ?

30.06.2010, 17:49

jester.

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Zitat:

Original von Erstler
Darf ich wegen der Abbildung folgern, dass $\begin{eqnarray*} N(r)\in\mathbb Z^*\Leftrightarrow r\in R^* \end{eqnarray*}$ ?

Nein, die Abbildung nimmt doch nur positive Werte an. Was du zeigen musst, ist die Gleichheit der Mengen $\begin{eqnarray*} R^* \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{r\in R ~|~ N(r)=1\} \end{eqnarray*}$ . Mache dazu den klassischen Ansatz, $\begin{eqnarray*} R^*\subseteq \{r\in R ~|~ N(r)=1\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R^*\supseteq \{r\in R ~|~ N(r)=1\} \end{eqnarray*}$ zu zeigen.
Nutze für die eine Richtung die Multiplikativität von N, für die andere die Division im Erweiterungskörper $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}/\mathbb{Z}[\sqrt{-5}] \end{eqnarray*}$ .

30.06.2010, 18:11

Erstler

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Ah, ok, langsam wird es klarer. Geht das so in die richtige Richtung?

$\begin{eqnarray*} '\subseteq' \end{eqnarray*}$
Es sei $\begin{eqnarray*} a+b\sqrt{-5}\in R^* \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} \exists c+d\sqrt{-5}\in R:~(a+b\sqrt{-5})(c+d\sqrt{-5})=1 \end{eqnarray*}$ .
Anwenden von N ergibt: $\begin{eqnarray*} N((a+b\sqrt{-5})(c+d\sqrt{-5}))=N(1)\Leftrightarrow N((a+b\sqrt{-5}))N((c+d\sqrt{-5}))=1 \end{eqnarray*}$ . Mit $\begin{eqnarray*} 1\in\mathbb Z^* \end{eqnarray*}$ folgt: $\begin{eqnarray*} N((a+b\sqrt{-5}))=1=N((c+d\sqrt{-5}) \end{eqnarray*}$

Wäre das für die eine Richtung ok oder wieder am Ziel vorbei?

30.06.2010, 18:30

jester.

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Du müsstest ein wenig genauer begründen/erwähnen, warum aus $\begin{eqnarray*} N((a+b\sqrt{-5}))N((c+d\sqrt{-5}))=1 \end{eqnarray*}$ folgt, dass beide Faktore schon 1 sind. Aber das ist klar, wenn du dir den Wertebereich von N ansiehst.

Ansonsten geht das allgemein übersichtlicher als mit diesen ganzen a,b und diesen Wurzeln.
$\begin{eqnarray*} r\in R^*\Rightarrow 1=N(1)=N(rr^{-1})=N(r)N(r^{-1}) \end{eqnarray*}$ und dann das gleiche Argument.

Wie sieht es mit der anderen Richtung aus?

30.06.2010, 18:38

Erstler

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Ja, mit den Wurzeln ist etwas umständlich, ist mir nach dem Abschicken auch aufgefallen.

Der Wertebereich von N ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_+ \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} a^2\geq0\leq b^2~\forall a,b\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ , also kann es nur 1 sein.

Die andere Richtung bin ich mir noch nicht ganz sicher, Erweiterungskörper hatten wir soweit ich weiß noch nicht.

Sei $\begin{eqnarray*} r=a+b\sqrt{-5}\in M \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} N(r)=1\Leftrightarrow a^2+5b^2=1 \end{eqnarray*}$ .

Ich würde jetzt zeigen, dass für $\begin{eqnarray*} b\neq 0:~N(r)\neq 1 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} b^2\geq 1\Rightarrow 5b^2\geq 5 \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} r=a+0\sqrt{-5}=a \end{eqnarray*}$ . Mit der gleichen Begründung würde ich dann zeigen, dass $\begin{eqnarray*} a=\pm 1 \end{eqnarray*}$ ist.

30.06.2010, 20:05

jester.

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Ok, Erweiterungskörper kennst du nicht, aber du kennst doch sicherlich $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ und dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]\subseteq \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ gilt, sollte ja auch klar sein.

Nun gilt für $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} z^{-1}=\frac{\overline z}{|z|^2} \end{eqnarray*}$ . Bringe nun $\begin{eqnarray*} |z|^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ in Verbindung und nutze die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} N(z)=1 \end{eqnarray*}$ um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} z^{-1}\in\mathbb{Z}[\sqrt{-5}] \end{eqnarray*}$ .

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