Basiswechselmatrix

30.06.2010, 17:18

Basiswechselmatrix

Meine Frage:
Aufgabe
Bestimmen Sie jeweils die Basiswechselmatrix $ _aM_b(id) $ für die Basen:
a) $\begin{eqnarray*} a =( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b =( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$ im R3
b) a=(1, (x-1),(x-1)²), b=(1, (x+2), (x+2)²) in P_2 (Polynome vom Grad kleiner oder gleich 2).
Dabei ist nicht zu zeigen, dass a und b tatsächlich Basen sind.

Meine Ideen:
also die a hab ich , da hab ich die Vektoren aus a als linearkombination der Vektoren aus Basis b dargestellt.

doch bei der b hab ich schwierigkeiten auf den ansatz zukommen bzw. das esamte verfahren...muss ich mit dann 2 polynome ausdenken und dann mit denen da was machen. so in der art haben wir das im tutorium gemacht.

30.06.2010, 17:23

tigerbine

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RE: Basiswechselmatrix
Vorab: [Artikel] Basiswechsel

Bei der (b) haben wir eben Basen des Polynomraums $\begin{eqnarray*} \Pi_2 \end{eqnarray*}$ . Das Prinzip ist aber das gleiche. Du musst die Koordinatenvektoren von b bzgl. a bestimmen. Es ist hier nun die Frage, wie wir generell Vektoren angeben wollen. Da bei M a und b im index stehen, nehme ich an, dass Polynome sonst in Standardform $\begin{eqnarray*} p(x)=c_0+c_1x+c_2x^2 \end{eqnarray*}$ angegeben sind.

Bestimme damit die Koordinatenvektoren von a und b. Dann bist du wieder bei Aufgabe (a). Wink

30.06.2010, 17:28

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RE: Basiswechselmatrix
hmm das versteh ich nicht so ganz...wie komm ich denn auf die koordinatenvekotoren

30.06.2010, 17:31

tigerbine

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RE: Basiswechselmatrix
Was ist da denn unklar? Augenzwinkern

Ein Polynom

$\begin{eqnarray*} p(x)=c_0+c_1x+c_2x^2 \end{eqnarray*}$

hat bzgl. der Monombasishat den Koordinatenvektor

$\begin{eqnarray*} (c_0,c_1,c_2) \end{eqnarray*}$ .

Nun bleibt doch nur noch dire Frage offen, wie die Monomdarstellung der Vektoren(Polynome) der Basen a und b aussehen. Idee!

30.06.2010, 17:34

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RE: Basiswechselmatrix
ja wie ich das berechne?hast du vielleicht ein beispiel?

also ich habs mal probiert..wäre der vektor bei a =(1,1,1)?

30.06.2010, 17:39

tigerbine

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RE: Basiswechselmatrix
Ich kann dein Problem nicht nachvollziehen. Daher weiß ich nicht, was ich noch schreiben soll.

$\begin{eqnarray*} a=\left(1, (x-1),(x-1)^2\right) \end{eqnarray*}$

Also lauten die Basispolynome von a in Monomschreibweise

$\begin{eqnarray*} p_{a1}(x)=1 = 1\cdot 1 + 0 \cdot x + 0 \cdot x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_{a2}(x)=-1 + x = -1 \cdot 1 + 1\cdot x + 0 \cdot x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_{a3}(x)=1 -2x + x^2 = 1 \cdot 1 - 2 \cdot x + 1 \cdot x^2 \end{eqnarray*}$

Nun müßtest du die Koordinaten aber sehen. Erstaunt2

30.06.2010, 17:42

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wenn ich das jetzt richtig verstanden hab und richtig sehe sind sind die koordinaten so:

(1,0,0) , (-1,1,0) , (1,-2,1)?

30.06.2010, 17:44

tigerbine

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Wie lauten die von b?

30.06.2010, 17:49

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$\begin{eqnarray*} p_{b1}(x)=1 = 1\cdot 1 + 0 \cdot x + 0 \cdot x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_{b2}(x)=x + 2 =1 \cdot 2 + 1\cdot x + 0 \cdot x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_{b3}(x)=x^2 + 4x + 4 = 4 \cdot 1 + 4 \cdot x + 1 \cdot x^2 \end{eqnarray*}$

also (1,0,0) , (2,1,0) , (4,4,1)?

30.06.2010, 17:55

tigerbine

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Korrekt.

30.06.2010, 18:01

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also ist die Matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -3 & 7 \\ 0 & 1 & -6 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

30.06.2010, 18:08

tigerbine

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Da habe ich was anderes raus (TI)

code:

1:
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69:
70:
71:

>> Basiswechsel2
 
Für eine lin. Abb. F: V->W werden Basiswechsel berechnet
 
Lin. Abb. zwischen V->W eingeben
 
             M1            
     B1 ----------> B1     
     /\             /\     
     |               |     
V    S               T    W
     |               |     
     |               |     
     B2 ----------> B2     
             M2            
 
Dimension von V: n= 3
Dimension von W: m= 3
 
Koordinaten der Basis 1 von V eingeben (als Zeilenvektoren!): 
Vektor 1: [1,0,0]
Vektor 2: [-1,1,0]
Vektor 3: [1,-2,1]
Koordinaten der Basis 2 von V eingeben (als Zeilenvektoren!): 
Vektor 1: [1,0,0]
Vektor 2: [2,1,0]
Vektor 3: [4,4,1]
 
Koordinaten der Basis 1 von W eingeben (als Zeilenvektoren!): 
Vektor 1: [1,0,0]
Vektor 2: [-1,1,0]
Vektor 3: [1,-2,1]
Koordinaten der Basis 2 von W eingeben (als Zeilenvektoren!): 
Vektor 1: [1,0,0]
Vektor 2: [2,1,0]
Vektor 3: [4,4,1]
 
M bzgl. Basis 1 oder Basis 2 gegeben? 1
 
M = [1,0,0;0,1,0;0,0,1]
 
y=(TI*M1*S)x=M2x

S =

     1     3     9
     0     1     6
     0     0     1


M1 =

     1     0     0
     0     1     0
     0     0     1


TI =

     1    -3     9
     0     1    -6
     0     0     1


M2 =

     1     0     0
     0     1     0
     0     0     1

30.06.2010, 19:24

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hatte nur nen kleinen rechenfehler habe jetzt auch die matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -3 & 9 \\ 0 & 1 & -6 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

danke nochmal smile

30.06.2010, 19:25

tigerbine

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Bitte, gern geschehen. Wink

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