Lagrange LGS II

30.06.2010, 19:18

Lagrange LGS II

Hallo,

ich habe noch eine Aufgabe zu Lagrange Optimierung. $\begin{eqnarray*} u=xyz \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x^2+y^2+z^2=3 \end{eqnarray*}$ . Da komme ich auf folgendes LGS:

$\begin{eqnarray*} F_x=yz+2x\lambda \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F_y=xz+2y\lambda \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F_z=xy+2z\lambda \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F_\lambda=x^2+y^2+z^2-3 \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich jetzt an die Lösung eines solchen LGS heran, damit ich auch alle Lösungen erwische. Das dürften ja hier einige sein.

30.06.2010, 19:50

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Also ich habe die oberen 3 Gleichungen jetzt so erweitert, das jeweils der Lambda Term weg fällt. Also z.B. die erste mit y/x. Daraus erhalte ich folgendes:
$\begin{eqnarray*} |y|=|x| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |y|=|z| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |x|=|z| \end{eqnarray*}$

Ist das alles, was man aus den ersten 3 Gleichungen herausholen kann? Oder habe ich etwas vergessen?

30.06.2010, 20:05

Mystic

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Wie du auf diese Gleichungen kommst ist mir schleierhaft... verwirrt

Der richtige Weg ist jedenfalls auch hier: Paarweise aus den linearen Gleichungen die Differenzen bilden, linken Seiten der entstehenden Gleichungen faktorisieren...

Ich hoffe, du hast nach diesen 2 Aufgaben mit dem exakt gleichen Lösungsweg diese Lektion endlich gelernt... geschockt

30.06.2010, 20:11

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Ich habe einfach die erste mit $\begin{eqnarray*} \frac y x \end{eqnarray*}$ multipliziert:

$\begin{eqnarray*} \frac {y^2z}x +2y \lambda \end{eqnarray*}$ und dann die 2. subtrahiert: $\begin{eqnarray*} \frac {y^2z}x +2y \lambda-xz-2y\lambda=0 \end{eqnarray*}$ daraus folgt dann: $\begin{eqnarray*} y^2=x^2 \end{eqnarray*}$ . Mit dem faktorisieren probiere ich auch gleich nochmal.

Aber so fehlen mir jetzt noch 6 Lösungen. Ich habe gerade mal in der Lösung nachgesehen. Da muss noch was mit in jeweils einer Koordinate $\begin{eqnarray*} \sqrt 3 \end{eqnarray*}$ herauskommen.

Was soll ich denn da ausklammern nach dem Subtrahieren:

$\begin{eqnarray*} yz+2x\lambda-xz-2y\lambda=0 \end{eqnarray*}$

30.06.2010, 20:22

Mystic

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Zitat:

Original von
Ich habe einfach die erste mit $\begin{eqnarray*} \frac y x \end{eqnarray*}$ multipliziert:

$\begin{eqnarray*} \frac {y^2z}x +2y \lambda \end{eqnarray*}$ und dann die 2. subtrahiert: $\begin{eqnarray*} \frac {y^2z}x +2y \lambda-xz-2y\lambda=0 \end{eqnarray*}$ daraus folgt dann: $\begin{eqnarray*} y^2=x^2 \end{eqnarray*}$ .

Das ist von A-Z ein Unsinn...Das beginnt schon damit, dass du für den Ausdruck y/x die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ benötigst, später verwendest du dann auch noch $\begin{eqnarray*} z \neq 0 \end{eqnarray*}$ ... Mann, oh Mann, dann sind lauter Dinge die streng verboten sind oder zumindestens Fallunterscheidungen erfordern... geschockt

Zitat:

Original von
Was soll ich denn da ausklammern nach dem Subtrahieren:

$\begin{eqnarray*} yz+2x\lambda-xz-2y\lambda=0 \end{eqnarray*}$

Bitte schau doch bei der Aufgabe im anderen Thread nach, das geht ja exakt gleich... Wink

30.06.2010, 20:30

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Naja exakt gleich ist es nicht. Es ist ja eine Variable mehr. Also ich bekomme es nicht hin, das ganze komplett als Produkt darzustellen. Höchstens als: $\begin{eqnarray*} y(z-2\lambda)+x(2\lambda-z) \end{eqnarray*}$ aber das bringt ja recht wenig.

30.06.2010, 20:43

Mystic

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Zitat:

Original von
Naja exakt gleich ist es nicht. Es ist ja eine Variable mehr. Also ich bekomme es nicht hin, das ganze komplett als Produkt darzustellen. Höchstens als: $\begin{eqnarray*} y(z-2\lambda)+x(2\lambda-z) \end{eqnarray*}$ aber das bringt ja recht wenig.

Mit anderen Worten, du siehst nicht, dass man hier $\begin{eqnarray*} z -2 \lambda \end{eqnarray*}$ herausheben kann?... Hm, dann fehlt es allerdings gewaltiglich an Rechenfertigkeiten, fürchte ich... unglücklich

30.06.2010, 20:46

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Da hast du natürlich recht. Die Gleichung habe ich mir noch gar nicht wirklich angeschaut, da ich dachte der Weg führt zu nichts.

30.06.2010, 20:55

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Aber um auf die x=-y Lösung zu kommen muss ich ja das machen:

$\begin{eqnarray*} \lambda=\frac z 3 \end{eqnarray*}$

und das in die 3.:

$\begin{eqnarray*} xz+yz=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z(x+y)=0 \end{eqnarray*}$

da muss ich doch genau so unter der Voraussetzung $\begin{eqnarray*} z\neq 0 \end{eqnarray*}$ dividieren.

30.06.2010, 21:07

Mystic

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Bitte merk dir eines ein für allemal, wenn du eine gewisse Ferigkeit im Umgang mit diesen nichtlinearen Gleichungssystem erlangen willst, das man nach dem Ableiten und Nullsetzen der Lagrangefunktion erhält:

Nur substituieren, wenn einem sonst gar nichts mehr einfällt!

Das unterscheidet einen Profi von einem Amateur, dass letzterer sehr bald oder gar als erstes zu substituieren beginnt, wodurch der Lösungsweg wenn schon nicht falsch doch oft sehr umständlich wird, und das hier ist keine Ausnahme...

Hier hat man 3 Gleichungen, nämlich

$\begin{eqnarray*} (x-y)(2\lambda -z)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x-z)(2\lambda -y)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (y-z)(2\lambda -x)=0 \end{eqnarray*}$

So, und jetzt bitte Fallunterscheidungen und weiterhin keine Substution, außer dann ganz zum Schluss für die nichtlineare Gleichung! Wink

30.06.2010, 21:25

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Ja du hast recht ich habe noch wenig Erfahrungen mit Gleichungssystemen. In der Schule haben wir das immer in den Rechner getippt, zu mal für mehr gar keine Zeit war. Also muss ich mir das noch aneignen. Also ich dividiere erst einmal durch die rechte Seite, dass ist klar. Da komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} 2\lambda \neq z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=z \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} 2\lambda\neq y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=z \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} 2\lambda\neq x 0 \end{eqnarray*}$

Was meinst du eigentlich genau mit substituieren? Das Einsetzungsverfahren?

Für die andere Seite erhält man:

$\begin{eqnarray*} 2\lambda=z \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} x\neq y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\lambda=z \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} x\neq z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\lambda=z \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} y\neq z \end{eqnarray*}$

Aber jetzt muss ich ja einsetzen, oder?

01.07.2010, 00:18

Mystic

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Also die Sache ist vielleicht eine Spur komplizierter, als ich das bisher dargestellt habe...

Von den 3 Gleichungen

$\begin{eqnarray*} (x-y)(2\lambda -z)=0 \quad (1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x-z)(2\lambda -y)=0 \quad (2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (y-z)(2\lambda -x)=0 \quad (3) \end{eqnarray*}$

sind nämlich immer nur je zwei linear unabhängig, die dritte ist dann jeweils automatisch erfüllt... Aus Symmetriegründen schadet es aber nicht, wenn immer alle drei Gleichungen vor Augen hat, nur braucht man von den ursprünglichen Gleichungen

$\begin{eqnarray*} yz+2\lambda x=0 \quad (4) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} xz+2\lambda y=0 \quad (5) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} xy+2\lambda z=0 \quad (6) \end{eqnarray*}$

auch noch genau eine... Des weiteren haben wir noch die Gleichung

$\begin{eqnarray*} x^2+y^2+z^2=3 \quad (7) \end{eqnarray*}$

welche wir aber immer erst zum Schluß verwenden...

Betrachten wir zunächst den Spezialfall $\begin{eqnarray*} \lambda = 0 \end{eqnarray*}$ , damit wir das im Folgenden dann ausschließen können... Aus (4),(5),(6),(7) sehen wir dann, dass genau zwei der Koordinaten x,y,z dann 0 sein müssen, während sich für die dritte dann aus (7) der Wert $\begin{eqnarray*} \pm \sqrt 3 \end{eqnarray*}$ ergibt... Das sind schon mal 6 Lösungen...

Nachfolgend betrachten wir nun die Gleichungen (1),(2),(4) und (7) und führen eine Fallunterscheidung durch:

1. Fall: $\begin{eqnarray*} x-y=0 \land x-z=0 \Rightarrow x=y=z=\pm 1 \end{eqnarray*}$
2. Fall: $\begin{eqnarray*} x-y=0 \land 2\lambda-y=0 \Rightarrow x=y =2\lambda\neq0 \land z=-2\lambda=-x \Rightarrow x=y=-z=\pm 1 \end{eqnarray*}$
3. Fall: ...
4. Fall: ...

Bitte den 3. und 4.Fall selbst wie in den ersten beiden Fällen ergänzen... Insgesamt sollten sich so die weiteren 8 Lösungen

$\begin{eqnarray*} |x|=|y|=|z|=1 \end{eqnarray*}$

ergeben...

01.07.2010, 10:08

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Also:

$\begin{eqnarray*} x-z=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 \lambda-x=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x=z=2\lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y2\lambda+2\lambda2\lambda=0=2\lambda(y+2\lambda) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y=-2\lambda\Rightarrow x=-y=z=\pm 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\lambda-y=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y-z=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y=z=2\lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\lambda2\lambda+2\lambda x=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x=-2\lambda \Rightarrow -x=y=z=\pm 1 \end{eqnarray*}$

Wie geht man denn bei so einer Fallunterscheidung am besten vor, damit man auch alle Fälle abdeckt?

01.07.2010, 13:21

Mystic

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Na also, es geht also doch... Freude

Zitat:

Original von
Wie geht man denn bei so einer Fallunterscheidung am besten vor, damit man auch alle Fälle abdeckt?

Im gegebenen Fall hat man die zwei Gleichungen (1),(2)

$\begin{eqnarray*} (x-y)(2\lambda-z)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x-z)(2\lambda-y)=0 \end{eqnarray*}$

(die dritte (3) hängt ja wie gesagt davon ab und ist somit automatisch erfüllt) und die linken Seiten können nur 0 werden, indem man wahlweise jeweils den ersten oder zweiten Faktor 0 setzt, was eben dann 4 Fälle ergibt... Es war dabei hier auch sehr wichtig, dass man den lästigen Sonderfall $\begin{eqnarray*} \lambda=0 \end{eqnarray*}$ zuerst erledigt, damit man in der Folge dann bei Bedarf durch $\begin{eqnarray*} \lambda \neq 0 \end{eqnarray*}$ kürzen kann...

Ein allgemeines Rezept läßt sich schwer angeben, aber sehr oft geht es ganz ähnlich wie in diesem Fall... Übung macht wie immer den Meister... Wink

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