lineare und nichtlineare dgl unterscheiden?

Neue Frage »

analysisisthedevil Auf diesen Beitrag antworten »
lineare und nichtlineare dgl unterscheiden?
hi,wir sollen verschiedenen differentialgleichungen klassifizieren und zwar nach linear und nicht linear.
die linearen sollen wir wiederum nach homogenen und nicht homogenen unterteilen.

ich verstehe allerdings nicht so ganz,wie ich das erkennen kann.
bsp.


ist laut lösung linear und homogen



linear inhomogen



nichtlinear

worann kann ich das sehen?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lineare und nichtlineare dgl unterscheiden?
Sind ja alles DGLn erster Ordnung, ja? Flapsig formuliert ist eine DGL genau dann linear, wenn alle Potenzen der gesuchten Funktion und deren Ableitung(en) nur mit der Potenz 1 vorkommen.



ist linear, denn da steht



ist nicht linear, denn da steht ja



Noch ein Beispie: Sowas wie



wäre auch nicht linear, weil y zum Quadrat auftaucht.

Und eine lineare DGL erster Ordnung sieht immer so aus:



Das b(x) wird dabei auch "Störfunktion" genannt. Wenn b(x)=0 ist, dann ist die DGL homogen. Sonst inhomogen.
analysisisthedevil Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lineare und nichtlineare dgl unterscheiden?
Zitat:
Original von Mulder
Sind ja alles DGLn erster Ordnung, ja? Flapsig formuliert ist eine DGL genau dann linear, wenn alle Potenzen der gesuchten Funktion und deren Ableitung(en) nur mit der Potenz 1 vorkommen.



ist linear, denn da steht



ist nicht linear, denn da steht ja



Noch ein Beispie: Sowas wie



wäre auch nicht linear, weil y zum Quadrat auftaucht.

Und eine lineare DGL erster Ordnung sieht immer so aus:



Das b(x) wird dabei auch "Störfunktion" genannt. Wenn b(x)=0 ist, dann ist die DGL homogen. Sonst inhomogen.


ok danke,das war genau die antwort die ich gesucht habe.ich steh auf flappsige antworten,die versteh ich nämlich besser^^
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

@Mulder
Deine Definition der linearen Dgl ist nicht ganz korrekt weil unvollständig Gemäß deiner Definition wäre z.B. die Dgl. yy'y''=0 linear, weil y und y' und y'' nur in der ersten Potenz vorkommen. Obwohl das hier erfüllt ist, ist die Dgl. nicht linear.

Eine lineare Dgl. ist dadurch ausgezeichnet, dass bei Bekanntsein zweier Lösungen auch jede Linearkombination eine Lösung ist. Daraus folgt, dass sich eine lineare Dgl. stets folgende Form haben muss

__________(1)

Manchmal tritt auf der rechten Seite noch eine Funktion f(x) auf, die als "Inhomogenität" oder "rechte Seite" bezeichnet wird, also

__________(2)

Obwohl (2) strenggenommen (nach der obigen Definition) nicht linear ist, zählt man sie mitunter zu den linearen Dgl. hinzu und sagt, es handelt sich um eine "inhomogene" lineare Dgl. Man sucht dann zunächst die Lösung der homogene Dgl. (1) und anschließend irgend eine (nicht eindeutige) Losung der inhomogenen Dgl. (2). Die allgemeine Lösung von (2) ist dann die Summe .
Dude85 Auf diesen Beitrag antworten »

@ehos:
habe deine Definition, dass dgls linear sind, wenn linearkombinationen der lösungen auch lösungen sind, jetzt schon öfter gelesen, verstehe aber nicht warum dann deine form (1) zustande kommt und zB sowas wie keine lineare DGL sein soll.

Lässt man die Triviallösung außen vor, muss doch sein, also sein. Die Lösungen der DGL sind also Konstanten.

Nimmt man jetzt zwei verschiedene Lösungen und und überlagert beide zu so gilt:



Die ersten beiden Summanden sind Null, da und Lösungen sind. Die letzten beiden Summanden sind aber auch Null, da .

Somit gilt also:



und damit ist die Linearkombination auch Lösung.

Ist damit keine lineare DGL nach der obigen Definition?
Oder lässt sie sich irgendwie umformen, so dass man auf die Form (1) kommt? (Mir fällt da zwar nix ein, aber ich kann mich ja auch irren.)
Oder ist meine Annahme, dass nur Konstanten diese DGL lösen, falsch?

Hoffe hier schaut noch jemand rein, in den Beitrag.
Dude
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Dgl. oder einfacher ist zur Demonstration des Unterschiedes von linearen und nichtlinearen Dgl. nicht geeignet, denn sie hat als einzige Lösung eine beliebige Konstante C. In diesem speziellen Fall hat es folglich keinen Sinn von zwei unterschiedlichen Lösungen zu sprechen.
------------------
Wie gesagt, lineare Dgl. sind dadurch ausgezeichnet, dass die Linearkombination zweier einzelner Löungen wiederum eine Lösung ist. Aufgrund dieser formalen Eigenschaft kann man sich bei Kenntnis einzelner Lösungen (vielleicht sogar unendlich vieler) die Gesamtlösung als Fourrier-Reihe zusammen basteln und damit gewisse Anfangsbedingungen erfüllen usw. (gerade bei partiellen Dgl.). Das ist ein riesiger Vorteil und stellt die Motivation für die besondere Auszeichnung linearer Dgl. dar.
 
 
Dude85 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, danke erstmal.

dann ist sicherlich ähnlich zu betrachten?

die allgemeinen Lösungen davon sollten Geraden sein, also nicht mehr ganz so trivial wie Konstanten, mit beliebigen . Und eine Linearkombination von zwei Lösungen ist dann auch wieder Lösung.

Und auch ist dann linear aber auch wieder solch ein spezialfall, der nicht zur Demonstration des Unterschieds geeignet ist?

weil auch hier die Linearkombination zweier Lösungen



wieder von der allgmeinen Form der Lösungen ist und die Betrachtung deshalb trivial wird?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Besonderheit, der von dir betrachteten Dgl. ff'=0 und ff'f''=0 besteht darin, dass auf der linken Seite reine Produkte von Ableitungen auftreten. Verschwindet in diesem Produkt ein Faktor, dann ist die gesamte Dgl. erfüllt. Damit zerfällt deine Dgl. ff'f''=0 in zwei lineare Dgl. f'=0 und f''=0, deren Lösungen auch Lösungen von ff'f''=0 sind. In diesem Sinne kann man ff'f''=0 vielleicht als linear betrachten.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »