DGL mit untrennbaren variablen

01.07.2010, 02:07

analysisisthedevil

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DGL mit untrennbaren variablen

Lösen Sie die Differentialgleichung $\begin{eqnarray*} x y' + y = x sin(x) \end{eqnarray*}$ allgemein.

Ich hab nich so wirklich ne ahnung wie ich die hier lösen soll.ich weis das ich wohl irgendwas substituieren muss um die gleichung lösbar zu machen,aber was genau übersteigt meinen horizont unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{xsin(x)-y}{x} \end{eqnarray*}$

so weit bin ich gekommen,wohl eher weniger beeindruckend ,wie ich annehme.

01.07.2010, 02:27

Mulder

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RE: DGL mit untrennbaren variablen

Zitat:

Original von analysisisthedevil
so weit bin ich gekommen,wohl eher weniger beeindruckend ,wie ich annehme.

Vom Hocker haut es nicht gerade. ^^

Das geht ganz simpel mit Variation der Konstanten. Löse erstmal das homogene Problem

$\begin{eqnarray*} xy'+y=0 \end{eqnarray*}$

Und dann geh das inhomogene Problem an.

01.07.2010, 14:35

analysisisthedevil

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RE: DGL mit untrennbaren variablen

Zitat:

Original von Mulder

Zitat:

Original von analysisisthedevil
so weit bin ich gekommen,wohl eher weniger beeindruckend ,wie ich annehme.

Vom Hocker haut es nicht gerade. ^^

Das geht ganz simpel mit Variation der Konstanten. Löse erstmal das homogene Problem

$\begin{eqnarray*} xy'+y=0 \end{eqnarray*}$

Und dann geh das inhomogene Problem an.

nun,dann dann mach ich das mal.

$\begin{eqnarray*} y'=-\frac{y}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} = - \frac{y}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{y} \, dy = \int \! -\frac{1}{x} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(y) = -ln(x)+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(xy)=c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} xy =e^c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y =\frac{e^c}{x} \end{eqnarray*}$

so?sieht bissel aus als hätte ich humbug zusammengebastelt

01.07.2010, 14:45

Mulder

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RE: DGL mit untrennbaren variablen
Deine Rechnungen sind in der Reihenfolge etwas ungewöhnlich, aber da steht nichts falsches. Setz das doch in die homogene DGL ein, dann siehst du ja, ob dein Resultat die DGL erfüllt. Das tut es in diesem Fall.

Du kannst es dir aber etwas einfacher machen, indem du die Konstante exp(c) einfach als c schreibst. Die Konstante muss ja nicht unnötig komplizierter aussehen, als nötig. Wie gesagt: Dass du auf so ein Resultet kommst, ist der merkwürdigen Reihenfolge verschuldet. Ist aber nicht schlimm. Die Lösungsmenge für die homogene DGL sind also alle Funktionen der Form

$\begin{eqnarray*} y_H = \frac c x \end{eqnarray*}$

Grundsätzlich ist für eine DGL der Form $\begin{eqnarray*} y'(x) = A(x)y(x) + b(x)\ . \end{eqnarray*}$ die Lösungsmenge für das homogene Problem einfach:

$\begin{eqnarray*} \{y(x) = Ce^{F(x)}\ |\ C \in \mathbb{R}\} \end{eqnarray*}$

Mit F als Stammfunktion von A. Das gilt immer. So, und jetzt setzt du an für die inhomogene DGL: Mach den Ansatz

$\begin{eqnarray*} y_I = c(x) \cdot \frac 1 x \end{eqnarray*}$

Das heißt, aus dem konstanten c machst du jetzt eine allgemeine Funktion. Bestimme $\begin{eqnarray*} y_I' \end{eqnarray*}$ und setze das in die inhomogene DGL ein. Daraus kannst du dann c(x) durch Integration bestimmen.

01.07.2010, 14:55

analysisisthedevil

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RE: DGL mit untrennbaren variablen

Zitat:

Original von Mulder
Deine Rechnungen sind in der Reihenfolge etwas ungewöhnlich, aber da steht nichts falsches. Setz das doch in die homogene DGL ein, dann siehst du ja, ob dein Resultat die DGL erfüllt. Das tut es in diesem Fall.

Du kannst es dir aber etwas einfacher machen, indem du die Konstante exp(c) einfach als c schreibst. Die Konstante muss ja nicht unnötig komplizierter aussehen, als nötig. Wie gesagt: Dass du auf so ein Resultet kommst, ist der merkwürdigen Reihenfolge verschuldet. Ist aber nicht schlimm. Die Lösungsmenge für die homogene DGL sind also alle Funktionen der Form

$\begin{eqnarray*} y_H = \frac c x \end{eqnarray*}$

Grundsätzlich ist für eine DGL der Form $\begin{eqnarray*} y'(x) = A(x)y(x) + b(x)\ . \end{eqnarray*}$ die Lösungsmenge für das homogene Problem einfach:

$\begin{eqnarray*} \{y(x) = Ce^{F(x)}\ |\ C \in \mathbb{R}\} \end{eqnarray*}$

Mit F als Stammfunktion von A. Das gilt immer. So, und jetzt setzt du an für die inhomogene DGL: Mach den Ansatz

$\begin{eqnarray*} y_I = c(x) \cdot \frac 1 x \end{eqnarray*}$

Das heißt, aus dem konstanten c machst du jetzt eine allgemeine Funktion. Bestimme $\begin{eqnarray*} y_I' \end{eqnarray*}$ und setze das in die inhomogene DGL ein. Daraus kannst du dann c(x) durch Integration bestimmen.

ich verstehe den schritt,den ich jetz machen soll nich so ganz.

ich ersteze also $\begin{eqnarray*} e^c \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$

aber wie genau soll ich aus c eine funktion machen?

01.07.2010, 15:02

Mulder

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RE: DGL mit untrennbaren variablen

Zitat:

Original von analysisisthedevil
ich verstehe den schritt,den ich jetz machen soll nich so ganz.

Alle Funktionen der Form

$\begin{eqnarray*} y=\frac c x \end{eqnarray*}$

mit konstantem c lösen die homogene DGL. Aber eben nicht das inhomogene. Aber das wollen wir ja lösen. c ist ja im Grunde auch eine Funktion. Es ist eine konstante Funktion. Wir lassen diese konstante Funktion nun aber variieren. Das c variieren zu lassen ist eben der Ansatz. Daher rührt der Name dieser Methode "Variation der Konstanten". Wie c(x) dann genau aussehen muss, wird sich ergeben. Mach das einfach und rechne es zuende.

Wir behaupten einfach, dass die Funktion

$\begin{eqnarray*} y=c(x) \cdot \frac 1 x \end{eqnarray*}$

für irgendeine Funktion c(x) die inhomogene DGL löst. Für welches c(x) das der Fall ist, das ist eben zu bestimmen. Und zwar indem du den Kram in die DGL einsetzt und nach c(x) auflöst.

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01.07.2010, 16:33

analysisisthedevil

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RE: DGL mit untrennbaren variablen

Zitat:

Original von Mulder

Zitat:

Original von analysisisthedevil
ich verstehe den schritt,den ich jetz machen soll nich so ganz.

Alle Funktionen der Form

$\begin{eqnarray*} y=\frac c x \end{eqnarray*}$

mit konstantem c lösen die homogene DGL. Aber eben nicht das inhomogene. Aber das wollen wir ja lösen. c ist ja im Grunde auch eine Funktion. Es ist eine konstante Funktion. Wir lassen diese konstante Funktion nun aber variieren. Das c variieren zu lassen ist eben der Ansatz. Daher rührt der Name dieser Methode "Variation der Konstanten". Wie c(x) dann genau aussehen muss, wird sich ergeben. Mach das einfach und rechne es zuende.

Wir behaupten einfach, dass die Funktion

$\begin{eqnarray*} y=c(x) \cdot \frac 1 x \end{eqnarray*}$

für irgendeine Funktion c(x) die inhomogene DGL löst. Für welches c(x) das der Fall ist, das ist eben zu bestimmen. Und zwar indem du den Kram in die DGL einsetzt und nach c(x) auflöst.

ok , jetz bin ich verwirrt!!

$\begin{eqnarray*} y=c(x) \cdot \frac 1 x \end{eqnarray*}$

ich setze das jetz also ein in die ursprüngliche dgl?

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{xsin(x)-y}{x} \end{eqnarray*}$

und erhalte dann

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{xsin(x)-(c(x) \cdot \frac 1 x)}{x} \end{eqnarray*}$

und das soll ich dann nach c(x) auflösen??

01.07.2010, 16:36

Mulder

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RE: DGL mit untrennbaren variablen
Die DGL war

$\begin{eqnarray*} x y' + y = x \sin(x) \end{eqnarray*}$

Du musst da jetzt vollständig einsetzen.

$\begin{eqnarray*} y=c(x) \cdot \frac 1 x \end{eqnarray*}$

So kannst du in der DGL schonmal y ersetzen (hast du ja schon getan, ist okay so). y' musst du natürlich noch bestimmen. Produktregel...

01.07.2010, 16:58

analysisisthedevil

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RE: DGL mit untrennbaren variablen

Zitat:

Original von Mulder
Die DGL war

$\begin{eqnarray*} x y' + y = x \sin(x) \end{eqnarray*}$

Du musst da jetzt vollständig einsetzen.

$\begin{eqnarray*} y=c(x) \cdot \frac 1 x \end{eqnarray*}$

So kannst du in der DGL schonmal y ersetzen (hast du ja schon getan, ist okay so). y' musst du natürlich noch bestimmen. Produktregel...

mmh

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{xsin(x)-(c(x) \cdot \frac 1 x)}{x} \end{eqnarray*}$

in dem fall,muss ich für y' aber nur aus $\begin{eqnarray*} y=\frac {c(x)}{x} \end{eqnarray*}$

bilden in dann nochmal y' strich ersetzen oder?

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{c'(x)x-c(x)}{x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{c'(x)x-c(x)}{x^2} =\frac{xsin(x)-(c(x) \cdot \frac 1 x)}{x} \end{eqnarray*}$

ohje und das nach c(x) auflösen,das sieht sowas von falsch aus was ich gemacht hab

01.07.2010, 17:04

Mulder

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RE: DGL mit untrennbaren variablen

Zitat:

Original von analysisisthedevil
ohje und das nach c(x) auflösen,das sieht sowas von falsch aus was ich gemacht hab

Das ist absolut richtig. Schau mal genau hin, da kürzt sich einiges weg (was keineswegs Zufalls ist). Und dann löst du zunächst mal nach c'(x) auf.

Nicht immer gleich resignieren. Weiter machen!

01.07.2010, 17:11

analysisisthedevil

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RE: DGL mit untrennbaren variablen

Zitat:

Original von Mulder

Zitat:

Original von analysisisthedevil
ohje und das nach c(x) auflösen,das sieht sowas von falsch aus was ich gemacht hab

Das ist absolut richtig. Schau mal genau hin, da kürzt sich einiges weg (was keineswegs Zufalls ist). Und dann löst du zunächst mal nach c'(x) auf.

Nicht immer gleich resignieren. Weiter machen!

also ich komme jetz auf $\begin{eqnarray*} c'(x)=sin(x) \end{eqnarray*}$

01.07.2010, 17:13

Mulder

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RE: DGL mit untrennbaren variablen

Zitat:

Original von analysisisthedevil
also ich komme jetz auf $\begin{eqnarray*} c'(x)=sin(x) \end{eqnarray*}$

Ich nicht.

01.07.2010, 17:23

Leopold

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RE: DGL mit untrennbaren variablen

Zitat:

Original von analysisisthedevil
ich weis das ich wohl irgendwas substituieren muss um die gleichung lösbar zu machen,aber was genau übersteigt meinen horizont unglücklich

unglücklich

Wenn du dir die linke Seite der Differentialgleichung anschaust, so ist das die Ableitung von $\begin{eqnarray*} u = xy \end{eqnarray*}$ .

Jetzt solltest du aber erst den Standardansatz zu Ende rechnen, dann kannst du es ja einmal mit dieser Substitution versuchen.

01.07.2010, 17:31

analysisisthedevil

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RE: DGL mit untrennbaren variablen

Zitat:

Original von Mulder

Zitat:

Original von analysisisthedevil
also ich komme jetz auf $\begin{eqnarray*} c'(x)=sin(x) \end{eqnarray*}$

Ich nicht.

$\begin{eqnarray*} c'(x)=x sin(x) \end{eqnarray*}$

villeicht aber darauf?

01.07.2010, 17:33

Mulder

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RE: DGL mit untrennbaren variablen
Einverstanden.

01.07.2010, 17:45

analysisisthedevil

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RE: DGL mit untrennbaren variablen

Zitat:

Original von Mulder
Einverstanden.

und jetz soll ich die stammfunktion von c'(x) bestimmen?

in dem fall wäre dann mit hilfe der partiellen integration

$\begin{eqnarray*} c(x)=-cos(x)\cdot x+sin(x) \end{eqnarray*}$

vorrausgesetzt mir is kein patzer unterlaufen

01.07.2010, 17:47

Mulder

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RE: DGL mit untrennbaren variablen
Stimmt. Damit hast du deine Lösung für die inhomogene DGL gefunden. smile

smile

Wenn du nun noch den Ansatz mit der Substitution probieren willst, siehe Leopold. Es ist ja nach der Produktregel

$\begin{eqnarray*} (xy)'=y+xy' \end{eqnarray*}$

Das Ganze geht dann auch etwas schneller.

01.07.2010, 17:49

analysisisthedevil

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RE: DGL mit untrennbaren variablen

Zitat:

Original von Mulder
Stimmt. Damit hast du deine Lösung für die inhomogene DGL gefunden. smile

smile

Wenn du nun noch den Ansatz mit der Substitution probieren willst, siehe Leopold. Es ist ja nach der Produktregel

$\begin{eqnarray*} (xy)'=y'+xy' \end{eqnarray*}$

Das Ganze geht dann auch etwas schneller.

das is jetz die ganze lösung?

muss ich nich zuerst noch das gefundene c(x) verwerten?

$\begin{eqnarray*} y=\frac{-cos(x)\cdot x+sin(x)}{x} \end{eqnarray*}$

?

01.07.2010, 17:51

Mulder

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RE: DGL mit untrennbaren variablen

Zitat:

Original von analysisisthedevil
muss ich nich zuerst noch das gefundene c(x) verwerten?

$\begin{eqnarray*} y=\frac{-cos(x)\cdot x+sin(x)}{x} \end{eqnarray*}$

?

Ja, natürlich. Ich dachte, das sei klar. Das ist die vollständige Lösung.

01.07.2010, 17:52

analysisisthedevil

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RE: DGL mit untrennbaren variablen
ok^^
Wink

Wink

01.07.2010, 17:54

Leopold

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RE: DGL mit untrennbaren variablen

Zitat:

Original von Mulder
Es ist ja nach der Produktregel

$\begin{eqnarray*} (xy)'=y'+xy' \end{eqnarray*}$

Na ja. Fast. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Mit $\begin{eqnarray*} u = xy \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} u'= y + xy' \end{eqnarray*}$ .

01.07.2010, 17:56

Mulder

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RE: DGL mit untrennbaren variablen
Hat sich ein Strichelein zuviel eingeschlichen. Danke, wird editiert. Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.07.2010, 18:50

analysisisthedevil

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noch eine abschießende frage!
die lösung aus meiner aufgabensammlung lautet:

$\begin{eqnarray*} y=\frac{C+sin(x)}{x}-cos(x) \end{eqnarray*}$

wo bekomme ich die konstante her?

hab ich die hier vergessen?

$\begin{eqnarray*} c(x)=-cos(x)\cdot x+sin(x) \end{eqnarray*}$

ich blick da nie so recht durch wie und was mit den konstanten passiert bei ner dgl

allerdings,die mit trennbaren variablen bekomm ich immer hin...

01.07.2010, 18:53

Mulder

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RE: DGL mit untrennbaren variablen
Die haben wir hier verschlampt:

$\begin{eqnarray*} \int x\cdot \sin(x) \, \dx = \sin(x)-x\cdot\cos(x) \end{eqnarray*}$

Das war unser Ergebnis beim Integrieren von c'(x). Aber da hätte natürlich noch eine Integrationskonstante dahinter gepackt werden können. smile

smile

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