Wahrscheinlichkeit für das Überlappen von Intervallen

01.07.2010, 07:12

ToruOkada

Wahrscheinlichkeit für das Überlappen von Intervallen

Meine Frage:
Hallo,

ich habe ein mutmasslich einfaches Problem, komme aber nicht mehr voran.
Der praktische Hintergrund ist simpel: Ich habe eine Steckdose mit einer Sicherung von 10A und weiß dass in einem Intervall 6 Min einmal ein Fön mit 7A 3 Minuten lang betrieben wird und zusätzlich der Wasserkocher mit 6A 2 Minuten lang betrieben wird. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Sicherung fliegt?
Also geht es um die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Gesamtinterval $\begin{eqnarray*} T_{ges} \end{eqnarray*}$ 1 bis n Intervalle vorkommen. Die Intervalle seien der Einfachheit halber alle stetig gleichverteilt und haben eine jeweilige Länge $\begin{eqnarray*} d_n \end{eqnarray*}$ , d.h. die Wahrscheinlichkeit dass zu einem Zeitpunkt x ein Intervall aktiv ist ergibt sich: $\begin{eqnarray*} p_n(x)= d_n/T_{ges} \end{eqnarray*}$ .
Aber wie komme ich zu der Wahrscheinlichkeit, dass es im Gesamtintervall eine Überlappung zweier oder mehrerer der Intervalle gibt?

Meine Ideen:
0) Der nullte Ansatz war die Brute-Force methode der Programmierung:
Es ergibt sich dass p=0,917069 zu erwarten ist (also 1Mio mal zufällige Startpunkte setzen und dann überlappungen prüfen).
1) Der erste Ansatz war über einen Wahrscheinlichkeitsbaum: Über einen Wahrscheinlichkeitsbaum bekomme schon sehr einfach die Wahrscheinlichkeit, dass zu einem Zeitpunkt=x 1..n Intervalle aktiv sind.
In obigen Falle habe ich die Kombinatinen das 2 der Verbraucher an der Sicherung gleichzeit aktiv sind: Also Fön+Wasserkocher.
$\begin{eqnarray*} p_{fail}(x)=\frac{1}{3}*\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
D.h. ich habe alle Ereigniskombinationen, die der Fehlermenge angehören genommen und deren Einzelwarscheinlichkeiten summiert. Aber ich suche ja nach der Gesamtwahrscheinlichkeit.
2) Über Bedingte Wahrscheinlichkeiten komme ich auch nicht zum Ziel also p=p(a|b) + p(b|a). Und das hilft auch im Verallgemeinerungsfall mit n Lasten nicht so richtig.
.... und nun stehe ich hier mit meinem Brett vor dem Kopf.

01.07.2010, 10:44

wisili

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RE: Wahrscheinlichkeit für das Überlappen von Intervallen
Eine wirre Beschreibung schreckt Helfer ab:
1 Intervall zu 6 Min., 1 bis n Intervalle, aktives Intervall, 2 oder mehrere Intervalle (aber bloss 2 Geräte)?

Ein verwandter Thread ist hier.

01.07.2010, 11:42

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Zitat:

Original von wisili
Eine wirre Beschreibung schreckt Helfer ab

Ich hätte es nicht besser sagen können.

01.07.2010, 16:47

ToruOkada

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Da habe ich wohl zu viel auf einmal gewollt und den konkreten Fall mit dem Allgemeinen vermischt.
Nun denn ich bin dann doch auf das Ergebnis gekommen. Vielen Dank für Euren Hinweise. Der Schlüssel war die geometrische Verteilung.
Für den allgemeinen Fall bei 2 Verbrauchern gilt dann.
$\begin{eqnarray*} p_{ges}=\frac{(\frac{t_{ges}^2}{2} - \frac{(t_{ges}-d_1)^2 }{2}) + (\frac{t_{ges}^2}{2} -\frac{(t_{ges}-d_2)^2 }{2})}{t_{ges}^2} \end{eqnarray*}$ wenn
$\begin{eqnarray*} t_{ges} \end{eqnarray*}$ : die Dauer des betrachteten Gesamtintervalls ist
$\begin{eqnarray*} d_1 \end{eqnarray*}$ : Die Betriebsdauer von Verbraucher #1 ist
$\begin{eqnarray*} d_2 \end{eqnarray*}$ : Die Betriebsdauer von Verbraucher #2 ist

Also bildlich gesprochen ziehe ich von dem Quadrat der Zeiten einen unsymmetrischen Salmi ab.

Nun habe ich vorsichtig versucht, das ganze auf 3 Verbraucher zu erweitern. Mein Ansatz ist nun dass ich einen Kubus $\begin{eqnarray*} t_{ges}^3 \end{eqnarray*}$ habe, in dem ich zur bestimmung der Warscheinlichkeit eine Doppelpyramide ermitteln muss, welche alle Punkte in diesem Kubus enthät in denen alle drei Verbraucher ihre Aktiv-Zeit haben. Und mit jedem zusätzlichen Verbraucher steigt die Dimension.

Ich vermute unter meinen Füßen das Holz des gleichnamigen Weges. Aber dies Problem müßten vor mir auch schon Menschen bei der Auslegung von IP-Bandbreiten, Elektrischen Netzen etc. gehabt haben.

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