Teilbarkeit

03.11.2006, 18:42	Kathi21	Auf diesen Beitrag antworten »
Teilbarkeit Hallo! Ich hab den Beitrag unter "Sonstiges" geschrieben, aber ich denk das gehört vielleicht eher zu Analysis!! Also entschuldige den doppelten Beitrag! Ich sitze nun schon ein paar Stunden vor einer Aufgabe und weiß einfach nicht weiter!! Vielleicht kann mir ja hier jemand helfen ?!! Sie lautet: 7 teilt $\begin{eqnarray} 2^{3n}-1 \end{eqnarray}$ für alle n $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ \{0} Zuerst dachte ich, ich mach das mit Induktion: für n= 1 ist das klar Dann kommt aber das Problem: $\begin{eqnarray} 2^{3(n+1)} -1 = 2^{3n+3} -1 = 2^{3n}2^{3} - 1 \end{eqnarray}$ Ich dachte ich könnte da irgendwie den Term $\begin{eqnarray} 2^{3}-1 \end{eqnarray*}$ ausklammern, aber es geht nicht!! Bin ich vielleicht völlig auf dem falschen Weg?? Muss ich vielleicht gar nicht mit Induktion arbeiten?
03.11.2006, 18:55	Menelaos	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilbarkeit Hi, der Anfang ist richtig. $\begin{eqnarray} 2^{3(n+1)}-1=2^{3n+3} -1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 82^{3n}-1 \end{eqnarray}$ Und das kannst du dann (glaube ich) schreiben als $\begin{eqnarray} = 72^{3n}-(2^{3n}+1) \end{eqnarray}$ Somit wird der erste Summand ein Vielfaches von 7, damit ist die Teilbarkeit bewiesen.
03.11.2006, 18:56	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Doch, Induktion ist hier durchaus angebracht Stell dir das doch mal so vor: $\begin{eqnarray} 2^{3n}=(2^3)^n=8^n \end{eqnarray}$ Damit folgt $\begin{eqnarray} 8^{n+1}-1=8 \cdot 8^n-1=8 \cdot 8^n -8+7 \end{eqnarray}$ ... Ich hoffe das hilft dir weiter. Gruß Björn
03.11.2006, 19:11	Kathi21	Auf diesen Beitrag antworten »
@menelaos: Wie kommt man den auf die Zeile: $\begin{eqnarray} 7 2^{3n} - (2^{3n}+1) \end{eqnarray}$ ? Und wieso kann ich denn den Klammerausdruck durch 7 teilen? Müsste es nicht -1 statt +1 heißen damit ich es teilen kann? @Bjoern1982: hmm... ich steh immer noch auf dem Schlauch! ;-) wenn ich dann $\begin{eqnarray} 8 * 8^{n} - 8 +7 \end{eqnarray*}$ habe, warum heißt das dann dass der Ausdruck durch 7 teilbar ist? Ich versteh das irgendwie nicht!
03.11.2006, 19:17	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Nich traurig sein Ein bisschen was muss man schon noch machen... $\begin{eqnarray} 8 \cdot 8^{n} - 8 +7=8 \cdot (8^n-1)+7 \end{eqnarray}$ Da ja $\begin{eqnarray} 8^n-1=2^{3n}-1 \end{eqnarray}$ durch 7 teilbar ist muss ja "irgendwas" mal "etwas dass durch 7 teilbar ist"+ 7 auch durch 7 teilbar sein. Beispiel: 8*7+7 ist natürlich durch 7 teilbar. Jetzt ok ? Gruß Björn
03.11.2006, 19:17	Menelaos	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, $\begin{eqnarray} = 72^{3n}+(2^{3n}-1) \end{eqnarray*}$ Kann sein, dass das Schwachsinn ist, ich bitte jemanden das zu überprüfen!
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03.11.2006, 19:19	Kathi21	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso!!!!!!!!!!!! Ja klar!!! Jetzt versteh ichs!!!! Riesendankeschön für die Hilfe!!!!!!!!
03.11.2006, 19:37	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Gern geschehen

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