Extrema mit Nebenbedingung

Neue Frage »

nube28 Auf diesen Beitrag antworten »
Extrema mit Nebenbedingung
Hallo

Ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:

Sei mit , . Ich soll alle lokalen Minima und Maxima von f auf bestimmen.

Ich habe g so umgeschrieben:

Ich habe g auf Differenzierbarkeit geprüft und den Rang überprüft, so dass ich nun die Multiplikationregel von Langrange anwenden könnte. Aber ich wüsste nicht wie ich die Gleichungen, die dabei rauskommen, lösen könnte und es scheint mir ziemlich komplex.

Gibt es hier noch eine andere Möglichkeit das zu lösen, bzw. wenn nicht, wie kann ich dann folgendes Gleichungssystem lösen bzw. habe ich beim Aufstellen Fehler gemacht:



Wobei

und


Vielen Dank im Vorraus
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Darstellung der Maximumfunktion stimmt nicht. Da fehlt irgendwo der Faktor . Aber auch so ist der Ansatz nicht zweckmäßig. Denn es gibt ja Schwierigkeiten mit der Differenzierbarkeit, wenn ein Betrag oder Ähnliches involviert sind. Und da gehst du gar nicht darauf ein. Schwierigkeiten verschwinden aber nicht, wenn man sie ignoriert. Sie führen im Gegenteil zu katastrophalen Fehlern.

Ich hätte einen ganz anderen Vorschlag: Überlege dir, welche Menge der Zeichenebene durch dargestellt wird. Das ist nämlich eine schöne Berandung. Und die läßt sich auch leicht stückweise parametrisieren. Und damit hast du alles auf ein Problem der elementaren Analysis zurückgeführt. Und dabei solltest du daran denken: Ein Extremum muß nicht unbedingt im Innern eines Intervalls angenommen werden. Und nur für innere Punkte geht das mit der Ableitung.
nube28 Auf diesen Beitrag antworten »

Erst einmal: Danke für deine Antwort.
Stimmt, ich habe das 1/2 vergessen. Hab mir schon gedacht, dass der Ansatz zu umständlich ist.
Zum Parametrisieren:
Genau das ist mein Problem. Ich finde keine Funktion mit der ich parametrisieren kann.
Ich habe mir überlegt, dass es mit sin und cos gehen gehen könnte, da die durch -1 und 1 beschränkt sind. Aber da komme ich auch nicht weiter.
Kann mir vielleicht da jemand helfen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man gar keine Idee hat, dann kann es helfen, sich einfache Beispiele zu überlegen: Welche der folgenden Punkte erfüllen , welche nicht?



Kannst du dir die Menge der mit jetzt vorstellen?
nube28 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja,

also

So müsste die Menge aussehen. Doch was hilft mir das?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »



Du solltest dir alle (!) Punkte mit einmal einzeichnen. Das ist doch eine einfache Kurve und gar nicht mal besonders krumm. Und zu ihrer stückweisen Parametrisierung genügt Schulwissen.

Manchmal muß man etwas einfach nur tun.
 
 
stereo Auf diesen Beitrag antworten »

Mich interessiert dieses Thema - also ich hab die Parametrisierung der Menge. Aber wie finde ich jetzt die Extrema von f(x,y) auf dieser Kurve? Sowas hatte ich nicht in meiner Vorlesung.
stereo Auf diesen Beitrag antworten »

Mag niemand was dazu sagen? smile

Also ich kann mir kaum vorstellen, dass ich die Werte jetzt in f(x,y) einsetze und dann schaue wo diese Funktion maximal wird. Das erscheint mir zu aufwendig.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Für die untere Kante des Quadrates kannst du



einsetzen:



Und jetzt mußt du nur diese gewöhnliche reelle Funktion studieren. Man zeigt, mittels Ableitung oder anderswie, daß streng monoton wächst, daher ist das Minimum und das Maximum der Funktion auf der unteren Quadratkante. Das Minimum wird im linken, das Maximum im rechten Randpunkt der Kante angenommen.

Und jetzt ebenso die anderen Quadratkanten. Und dann die ganzen Werte miteinander vergleichen.
stereo Auf diesen Beitrag antworten »

Also doch einzeln abarbeiten. Ich danke dir für den Tip.

Schönen Tag noch
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »