lineare abbildung

01.07.2010, 13:56

cl10gs

lineare abbildung

Hi,
bin grad an einer aufgabe dran, komme aber nicht weiter:
gegeben sind :
$\begin{eqnarray*} v_{1}=(1,0), w_{1}=(1,0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_{2}=(2,-1), w_{2}=(0,1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_{3}=(-3,2), w_{3}=(1,1) \end{eqnarray*}$

ich soll bestimmen, ob eine lineare abbildung $\begin{eqnarray*} L: \mathbb R^{2} \Rightarrow \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} L\left(v_{i}\right)=w_{i} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i=1,2,3 \end{eqnarray*}$ existieren kann.

meine frage ist jetzt, wie kriege ich das raus, gibt es da kriterium die ich überprüfen muss, oder muss ich was ausrechnen??

gruß
cl10

01.07.2010, 14:03

Mulder

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RE: lineare abbildung
Versuch doch mal, $\begin{eqnarray*} v_3 \end{eqnarray*}$ als Linearkombination von $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ darzustellen. Das geht sicher, denn der R² hat die Dimension 2. Das heißt, drei Elemente aus dem R² können nicht lin. unabhängig sein.

Und dann mach dir die diversen Eigenschaften einer linearen Abbildung zunutze und führe das dann zum Widerspruch.

01.07.2010, 15:01

cl10gs

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RE: lineare abbildung
mit
$\begin{eqnarray*} \alpha = \beta = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f\left(\alpha v_{1}+\beta v_{2} \right)= \alpha f\left(v_{1}\right) + \beta f\left(v_{2}\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f\left(-1 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} + -1 \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} \right)= -1 f\left(\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\right) + -1 f\left(\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f\left( \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \right)= -1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + -1 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f\left( \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix} \right)= \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

reicht das aus, um zu zeigen, das keine lineare abbildung existiert??

01.07.2010, 15:07

Mulder

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RE: lineare abbildung
Die Idee hinter der Aufgabe ist dir jedenfalls klar. Genau so soll es gemacht werden. Allerdings rechnest du da jetzt irgendwie mit völlig konfusen Werten. Wo kommt der Vektor (1,-1) her? Das ist weder v1, noch v2, noch v3.

01.07.2010, 15:10

cl10gs

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RE: lineare abbildung
oh sorry, habs beim ersten mal falsch, v1(1,-1) ist richtig,
das ändert bei der lösung aber nichts, oder?

01.07.2010, 15:19

Mulder

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RE: lineare abbildung

Zitat:

Original von cl10gs
das ändert bei der lösung aber nichts, oder?

Nein, in diesem Fall nicht. Dann sind deine Rechnungen okay.